- 基本不等式及其应用
- 共6247题
在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？
正确答案
解：（1）设对角线有相同长度d，矩形的两邻边长分别为x，y，
由题意可得x2+y2=d2，
∴矩形周长c=2（x+y），
∴c2=4（x+y）2=4（x2+y2+2xy）≤4（x2+y2+x2+y2）=8d2，
当且仅当x=y，即矩形为正方形时，c2取到最大值8d2，周长取到最大值2
（2）由（1）矩形面积S=xy=
当且仅当x=y，即矩形为正方形时，矩形面积的最大值
解析
解：（1）设对角线有相同长度d，矩形的两邻边长分别为x，y，
由题意可得x2+y2=d2，
∴矩形周长c=2（x+y），
∴c2=4（x+y）2=4（x2+y2+2xy）≤4（x2+y2+x2+y2）=8d2，
当且仅当x=y，即矩形为正方形时，c2取到最大值8d2，周长取到最大值2
（2）由（1）矩形面积S=xy=
当且仅当x=y，即矩形为正方形时，矩形面积的最大值
已知直角三角形斜边长等于6cm，则面积的最大值为______．
正确答案
9
解析
解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，
由直角三角形的斜边长为6可得：
a2+b2=36≥2ab，
∴ab≤18
故直角三角形的面积S=
故斜边长为6的直角三角形的面积的最大值为9，
故答案为：9．
若直线ax+by=1过点A（b，a），则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是______．
正确答案
π
解析
解：∵直线ax+by=1过点A（b，a），
∴2ab=1
∵
∴以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积为
S=π（a2+b2）≥2πab=π
当且仅当a=b时取等号
故答案为：π
（1）试用x表示菜地的宽；
（2）试问当x为多少时，菜地及过道的总面积y有最小值，最小值为多少？
正确答案
解：（1）由题意，菜地的宽为
（2）
当且仅当
所以，当x=4时，菜地及过道的总面积有最小值，最小值为72平方米．-----------（8分）
解析
解：（1）由题意，菜地的宽为
（2）
当且仅当
所以，当x=4时，菜地及过道的总面积有最小值，最小值为72平方米．-----------（8分）
正确答案
解：设矩形游泳池的长为am，宽为bm，
由题意知：ab=1800，
则所用空地的面积S=（a+12）（b+6）=ab+6a+12b+72=1872+6（a+2b）
≥1872+6×2
当且仅当a=2b=60，取得等号．
答：当空地的长为72m，宽为36m，使所用空地的面积最小．
解析
解：设矩形游泳池的长为am，宽为bm，
由题意知：ab=1800，
则所用空地的面积S=（a+12）（b+6）=ab+6a+12b+72=1872+6（a+2b）
≥1872+6×2
当且仅当a=2b=60，取得等号．
答：当空地的长为72m，宽为36m，使所用空地的面积最小．
扫码查看完整答案与解析