· 基本不等式

· 基本不等式及其应用

基本不等式及其应用
共6247题

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1

题型：填空题

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填空题

已知正数x、y满足x+2≤λ（x+y）恒成立，则实数λ的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵x＞0，y＞0，

且x+2≤λ（x+y）恒成立，

∴λ≥=恒成立；

设t=，t＞0，

∴得函数y=，

则y′==，

令y′=0，得2-2t-2t2=0，

解得t=或t=（不合题意，舍去），

∴当t=时，y有最大值ymax==；

∴λ的最小值为．

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

已知x＞0，y＞0，且=1，求：

（1）xy的最小值；

（2）x+y的最小值．

正确答案

解：（1）∵x＞0，y＞0，=1，

∴xy=2x+8y≥2

即xy≥8，∴≥8，

平方可得xy≥64，

当且仅当2x=8y即x=16，y=4时，“=”成立，

∴xy的最小值为64；

（2）∵x＞0，y＞0，且+=1．

∴x+y=（x+y）•（+）=10++≥10+2=18，

当且仅当=，即x=2y=12时“=”成立．

∴x+y的最小值为18

解析

解：（1）∵x＞0，y＞0，=1，

∴xy=2x+8y≥2

即xy≥8，∴≥8，

平方可得xy≥64，

当且仅当2x=8y即x=16，y=4时，“=”成立，

∴xy的最小值为64；

（2）∵x＞0，y＞0，且+=1．

∴x+y=（x+y）•（+）=10++≥10+2=18，

当且仅当=，即x=2y=12时“=”成立．

∴x+y的最小值为18

1

题型：单选题

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单选题

已知O是△ABC的外心，且，，P是线段AB上任一点（不含端点），实数λ，μ满足，则的最小值是（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

解：∵O是△ABC的外心，且，

∴以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，且对角线OC等于边长

因此，在菱形OACB中，△ACO与△BCO都是等边三角形

∵，∴||=||=||=||=||=2

以O为原点，CO所在直线为x轴，建立直角坐标系如图所示

可得A（-1，），B（-1，-），C（-2，0）

∴=（1，），可得=（1，）=（，），

同理得=（1，-）=（，-）

因点P在直线AB：x=-1上，设P（-1，y），（-），可得=（1，y）

∵=（，）+（，-）=（，（λ-μ））

∴=1，可得λ+μ=2（λ＞0且μ＞0）

因此=（）=1+（）≥1+×2=2

当且仅当λ=μ=1时，的最小值是2

故选：C

1

题型：单选题

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单选题

当x＞0时，下列函数中最小值为2的是（　　）

Ay=x2-2x+4

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵x＞0，

∴y=x2-2x+4=（x-1）2+3≥3，可排除A；

对于B，y=x+≥2=8，可排除B；

对于C，y=x+≥2（当且仅当x=1时取“=”），故C正确；

对于D，由双钩函数y=x+（a＞0）的性质可得，

当x=0时，y=+取得最小值，

即y=+≥＞2，故排除D．

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（　　）

A-

B-

C--

D+

正确答案

B

解析

解：∵b2+c2=2，c2+a2=2，

∴b2+c2=c2+a2

∴b2=a2

又a2+b2=1，

所以当a=b=，c=- 时ab+bc+ca有最小值为：×+×（-）+×（-）=-，

ab+bc+ca的最小值为-，

故选B．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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