热门试卷

解：因为已知a、b、c是实数，且a2+2b2+3c2=6，

根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2

故有（a2+2b2+3c2）（1++）≥（a+b+c）2

故（a+b+c）2≤11，即a+b+c的最大值为，当且仅当a=2b=3c=时，等号成立．

解：（Ⅰ）∵|t+3|-|t-2|≤|（t+3）-（t-2）|=5，不等式|t+3|-|t-2|≤6m-m2对任意t∈R恒成立，

可得6m-m2≥5，求得1≤m≤5，或m≥5，即实数m的取值范围为{m|1≤m≤5}．

（Ⅱ）由题意可得 λ=5，3x+4y+5z=5．

∵（x2+y2+z2）（32+42+52）≥（3x+4y+5z）2=25，当期仅当==时，等号成立，

即x=，y=，z= 时，取等号．

∴50（x2+y2+z2）≥25，∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为，

解：由题意结合柯西不等式可得m2•n2=（a2+b2）•（x2+y2）≥（ax+by）2，当且仅当=时，取等号，

故ax+by的最大值为mn．

解：∵2x2+3y2≤6，

∴利用柯西不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）得

（x+2y）2≤（2x2+3y2）（+）≤6×=11

∴x+2y≤．

证明：∵（a12+a22）（b12+b22）-（a1b1+a2b2）2 =a12 b22+a22 b12-2a1b1a2b2=（a1b2-a2b1）2≥0，

∴（a12+a22）（b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2成立，

∵a1b1+a2b2＞0，

∴a1b1+a2b2≤•．

解：∵x+y+z=4•+•+2•+2，

根据柯西不等式，（x1x2+y1y2+z1z2）2≤（x12+y12+z12）•（x22+y22+z22）得，

（4•+•+2•）2≤（16+5+4）•[]=25，

所以，|4•+•+2•|≤5，

即-5≤4•+•+2•≤5，

因此，x+y+z∈[-3，7]，

故，x+y+z的最大值为7，最小值为-3．

（Ⅰ）解：∵ab＞0，a2b=2，

∴a＞0，b＞0，

∴m=ab+a2=ab+ab+a2≥=3，

当且仅当ab=a2，即a=1，b=2时取等号，

∴m的最小值是3；

（Ⅱ）证明：∵x2+y2+z2=1，由柯西不等式得：（x2+y2+z2）•（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，

整理得：9≥（x+2y+2z）2，

∴|x+2y+2z|≤3．