- 反证法与放缩法
- 共66题
设函数f（x）=|x-4|+|x-3|，
（Ⅰ）求f（x）的最小值m
（Ⅱ）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．
正确答案
解：（Ⅰ）法1：f（x）=|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，
故函数f（x）的最小值为1．m=1．…（4分）
法2：
x≥4时，f（x）≥1；x＜3时，f（x）＞1，3≤x＜4时，f（x）=1，----------------（3分）
故函数f（x）的最小值为1．m=1．…（4分）
（Ⅱ）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2=1----------（5分）
故a2+b2+c2≥
当且仅当
解析
解：（Ⅰ）法1：f（x）=|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，
故函数f（x）的最小值为1．m=1．…（4分）
法2：
x≥4时，f（x）≥1；x＜3时，f（x）＞1，3≤x＜4时，f（x）=1，----------------（3分）
故函数f（x）的最小值为1．m=1．…（4分）
（Ⅱ）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2=1----------（5分）
故a2+b2+c2≥
当且仅当
正数a，b，c满足：a2+ab+ac+bc=6+2
正确答案
2
解析
解：a2+ab+bc+ac=a（a+b）+c（a+b）=（a+b）（a+c）=6+2
∴（a+b）（2a+2c）=12+4
∴（a+b）（2a+2c）≤
∴4（
∴3a+b+2c的最小值为2
故答案为：2
已知不等式|a-2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围．
正确答案
解析
解：因为已知x，y，z是实数，且x+y+z=1，
根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2
故有（x2+2y2+3z2）（1+
故x2+2y2+3z2≥
∵不等式|a-2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，
∴|a-2|≤
∴
已知
正确答案
a2+b2≥（x+y）2
解析
解：由已知
得
故答案为a2+b2≥（x+y）2．
已知实数x，y，z满足2x+y+3z=32，则
正确答案
解析
解：12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（22+12+32）[（x-1）2+（y+2）2+z2]≥（2x-2+y+2+3z）2=322，
∴
故答案为：
请用柯西不等式求解．已知a、b、x、y都是正实数，且
正确答案
a+b+2
解析
解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，
可得（
∵
∴x+y≥（
∴x+y的最小值为a+b+2
故答案为：a+b+2
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