- 二项分布及其应用
- 共3448题
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3，各专家独立评审。
（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（2）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望。
正确答案
解：（1）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用，
则D=A+B·C
（2）X~B（4，0.4），其分布列为
期望EX=4×0.4=1.6。
已知参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛。
（1）通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有一名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；
（2）记1号，2号射箭运动员，射箭的环数为ξ（ξ所有取值为0，1，2，3．．．，10）。
根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：
①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中8环的概率；
②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由。
正确答案
解：（1）从4名运动员中任取一名，其靶位号与参赛号相同，有
另3名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有2种，
所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为
（2）①由表可知，两人各射击一次，都未击中8环的概率为P=（1-0.2）（1-0.32）=0.544，
∴至少有一人命中8环的概率为p=1-0.544=0.456；
②
所以2号射箭运动员的射箭水平高。
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中
（1）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；
（2）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率。
正确答案
解：（1）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡
设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”
P（A）=
（2）设事件B为“采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等”，
事件A1为“采访该团2人中，0人持金卡，0人持银卡”，
事件A2为“采访该团2人中，1人持金卡，1人持银卡”
P（B）=P（A1）+P（A2）=
所以采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等的概率是
一次数学考试共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的，设计试卷时，安排前n道题使考生都能得出正确答案，安排8-n道题，每题得出正确答案的概率为
（1）当n=6时，
①分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率；
②问考生答对几道题的概率最大，并求出最大值；
（2）要使考生所得分数的期望不小于40分，求n的最小值。
正确答案
解：（1）①当n=6时，10道题全答对，即后四道题全答对的相互独立事件同时发生，10道题全答对的概率为
答对8道题的概率为
②答对题的个数X的可能值为6，7，8，9，10，其概率分别为：
又
所以答对7道题的概率最大，为
（2）当n=6时，分布列为：
当n=7时，Eξ=40
所以n的最小值为7。
在三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验。
（1）求恰有一件不合格的概率；
（2）求至少有两件不合格的概率。（精确到0.001）
正确答案
解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C
（1）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95
P
因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为
P（A·B·
=P（A）·P（B）·P（
=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95 =0.176
答：恰有一件不合格的概率为0.176。
（2）至少有两件不合格的概率为
=0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052 =0.012
答：至少有两件不合格的概率为0.012。
某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路．统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为
（Ⅰ）求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率．
（Ⅱ）求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率．
正确答案
解：设“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A，“汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B，“汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C．
（Ⅰ）甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车，有2种情况，即甲堵车而乙不堵车和甲不堵车而乙堵车，则其概率为P1=P（
故甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为
（Ⅱ）甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车即三辆车全部堵车或恰有两辆汽车堵车，
则其概率P2=P（A·B·C）+P（
=
故三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为
某大学对参加了该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，决定考核有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分。假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
（Ⅰ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，
“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，事件A、B、C相互独立，
事件
所以
（Ⅱ） 记“在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数”为事件F，即三名志愿者考核为优秀的人数为1人或3人，
所以
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球，
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A，
“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B，
由于事件A，B相互独立，
且
故取出的4个球均为红球的概率是
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C，
“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D，
由于事件C，D互斥，
且
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次。某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2。该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：
（1）求q2的值；
（2）求随机变量X的均值E（X）；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
正确答案
解：（1）由题设知，“X=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，
由对立事件和相互独立事件性质可知 P（X=0）=（1-q1）（1-q2）2=0.03。
（2）根据题意
P1=P（X=2）=（1-q1）C12（1-q2）q2=0.75×2×0.2×0.8=0.24；
P2=P（X=3）=q1（1-q2）2=0.25×（1-0.8）2=0.01；
P3=P（X=4）=（1-q1）q22=0.75×0.82=0.48；
P4=P（X=5）=q1q2+q1（1-q2）q2 =0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24
因此E（X）=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63。
（3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，
用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，
则 P（C）=P（X=4）+P（X=5）=P3+P4=0.48+0.24=0.72
P（D）=q22+C21q2（1-q2）q2=0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896
故P（D）＞P（C）
即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率。
某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；
(Ⅱ)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ。
正确答案
解：设A、B、C、D分别为第一、二、三、四个问题，
用Mi(i=1，2，3，4)表示甲同学第i个问题回答正确，
用Ni(i=1，2，3，4)表示甲同学第i个问题回答错误，则Mi与Ni是对立事件(i=1，2，3，4)，
由题意得，
所以
(Ⅰ)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，
则
由于每题答题结果相互独立，因此
(Ⅱ)由题意，随机变量ξ的可能取值为2，3，4，
由于每题答题结果相互独立，
所以
因此随机变量ξ的分布列为
所以
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