- 碰撞
- 共652题
如图所示，一辆质量为M的小车静止在水平面上，车面上右端点有一可视为质点的滑块1，水平面上有与车右端相距为4R的固定的1/4光滑圆弧轨道，其圆周半径为R，圆周E处的切线是竖直的，车上表面与地面平行且与圆弧轨道的末端D等高，在圆弧轨道的最低点处，有另一个可视为质点的滑块2，两滑块质量均为m，某人由静止开始推车，当车与圆弧轨道的竖直壁CD碰撞后人即撤去推力并离开小车，车碰后靠着竖直壁静止但不粘连，滑块1和滑块2则发生碰撞，碰后两滑块牢牢粘在一起不再分离。车与地面的摩擦不计，滑块1、2与车面的摩擦系数均为μ，重力加速度为g，滑块与车面的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。
（1）若人推车的力是水平方向且大小为F=μ(M+m)g/2，则在人推车的过程中，滑块1与车是否会发生相对运动？
（2）在（1）的条件下，滑块1与滑块2碰前瞬间，滑块1的速度多大？若车面的长度为R/4，小车质量M=km，则k的取值在什么范围内，两个滑块最终没有滑离车面？
正确答案
解：（1）设滑块1与车不发生相对滑动，它们的加速度大小为a，由牛顿第二定律有
此时滑块受到的静摩擦力大小为
而
由①②③解得
又滑块1与车面的最大静摩擦力为
显然
（2）设滑块1与滑块2碰撞前瞬间滑块1的速度为v，根据动能定理有
联立③⑥求得
设滑块1和2发生碰撞后的共同速度为v1，由动量守恒定律有
联立⑦⑧求得
两滑块粘合在一起后以v1的速度冲上光滑圆弧轨道，由于圆弧轨道的处的切线是竖直的，则无论两滑块在圆弧轨道上运动，还是从处竖直向上离开圆弧轨道，最后还是沿着圆弧轨道回到处，整个过程中两滑块的机械能守恒，两滑块最终以速度v1冲上车面
设两滑块滑到车的左端时，若滑块刚好不滑出车面，滑块和车应有共同的速度设为v2，由系统的动量守恒有
由系统的动能守恒有
联立⑨⑩
所以当
如图所示，质量M=3.5kg的小车静止于光滑水平面上靠近桌子处，其上表面与水平桌面相平，小车长L=1.2m，其左端放有一质量为0.5kg的滑块Q。水平放置的轻弹簧左端固定，质量为1kg的小物块P置于桌面上的A点并与弹簧的右端接触。此时弹簧处于原长，现用水平向左的推力将P缓慢推至B点（弹簧仍在弹性限度内）时，推力做的功为WF=6J，撤去推力后，P沿桌面滑到小车上并与Q相碰，最后Q停在小车的右端，P停在距小车左端0.5m处，已知AB间距L1=5cm，A点离桌子边沿C点距离L2=90cm，P与桌面间动摩擦因数
（1）P到达C点时的速度vC；
（2）P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小。
正确答案
解：（1）对P由A→B→C应用动能定理，得
（2）设P、Q碰后速度分别为v1、v2，小车最后速度为v，由动量守恒定律得
由能量守恒得
解得
当
即P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小为
如图所示的凹形场地，两端是半径为L的1/4圆弧面，中间是长为4L的粗糙水平面。质量为3m的滑块乙开始停在水平面的中点O处，质量为m的滑块甲从光滑圆弧面顶端A处无初速度滑下，进入水平面内并与乙发生碰撞，碰后以碰前一半的速度反弹。已知甲、乙与水平面的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且μ1=2μ2，甲、乙的体积大小忽略不计。求：
（1）甲与乙碰撞前的速度；
（2）碰后瞬间乙的速度；
（3）甲、乙在O处发生碰撞后，刚好不再发生碰撞，则甲、乙停在距B点多远处。
正确答案
解：（1）设甲到达O处与乙碰撞前的速度为v甲，由动能定理：
得：
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲′、v乙′，由动量守恒：
又：
得：
（3）由于μ1=2μ2，所以甲、乙在水平面上运动的加速度满足：a甲=2a乙设甲在水平地面上通过的路程为s1、乙在水平地面上通过的路程为s2，则有：
即：
由于甲、乙刚好不再发生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地点停下。有以下两种情况：
第一种情况：甲返回时未到达B时就已经停下，此时有：s1＜2L
而乙停在甲所在位置时，乙通过的路程为：s2=2L+2L+s1=4L+s1
因为s1与s2不能满足①，因而这种情况不能发生
第二种情况：甲、乙分别通过B、C冲上圆弧面后，返回水平面后相向运动停在同一地点
所以有：s1+s2=8L ②
①②两式得：
即小车停在距B为：
如图，一光滑水平桌面AB与一半径为R的光滑半圆形轨道相切于C点，且两者固定不动。一长L为0.8 m的细绳，一端固定于O点，另一端系一个质量m1为0.2 kg的球。当球在竖直方向静止时，球对水平桌面的作用力刚好为零。现将球提起使细绳处于水平位置时无初速释放。当球m1摆至最低点时，恰与放在桌面上的质量m2为0.8kg的小铁球正碰，碰后m1小球以2 m/s 的速度弹回，m2将沿半圆形轨道运动，恰好能通过最高点D。g=10m/s2，求：
（1）m2在圆形轨道最低点C的速度为多大？
（2）光滑圆形轨道半径R应为多大？
正确答案
解：（1）设球m1摆至最低点时速度为v0，由小球（包括地球）机械能守恒
m1与m2碰撞，动量守恒，设m1、m2碰后的速度分别为v1、v2
选向右的方向为正方向，则
即0.2×4 =0.2×(-2 )+0.8×v2
解得v2=1.5 m/s
（2）m2在CD轨道上运动时，由机械能守恒有
由小球恰好通过最高点D点可知，重力提供向心力，即
由①②得v22=5gR
即1.52=50R
故R=0.045 m
如图所示，坡度顶端距水平面高度为h，质量为m1的小物块A从坡道顶端由静止滑下，从斜面进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，一端与质量为m2的挡板B相连，弹簧处于原长时，B恰位于滑道的末湍O点。A与B碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM段A、B与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：
（1）物块A在与挡板B碰撞前的瞬间速度v的大小；
（2）弹簧最大压缩量为d时的弹簧势能EP（设弹簧处于原长时弹性势能为零）。
正确答案
解：（1）由机械能守恒定律得：
（2）A、B在碰撞过程中内力远大于外力，由动量守恒，有：
A、B克服摩擦力所做的功：
由能量守恒定律，有：
解得：
一轻质细绳一端系一质量为m=0.05 kg的小球A，另一端套在光滑水平细轴O上，O到小球的距离为L＝ 0.1 m，小球与水平地面接触，但无相互作用。在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，二者之间的水平距离S=2 m，如图所示。现有一滑块B，质量也为m，从斜面上高度h＝3 m处由静止滑下，与小球和挡板碰撞时均没有机械能损失。若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，滑块B与水平地面之间的动摩擦因数μ=0.25，g取10 m/s2。求：
（1）滑块B与小球第一次碰撞前瞬间，B速度的大小；
（2）滑块B与小球第一次碰撞后瞬间，绳子对小球的拉力；
（3）小球在竖直平面内做完整圆周运动的次数。
正确答案
解：（1）滑块B从斜面高度h处滑下与小球第一次碰撞前瞬间速度为
求得：
（2）滑块B与小球碰撞，没有机械能损失，由动量守恒和机械能守恒得：
求得：
对小球由牛顿第二定律得：
求得：
（3）小球恰能完成一次完整的圆周运动，设它到最高点的速度为v1，小球在最低点速度为v，则有
求得：
小球做完整圆周运动时，碰后的速度至少为
求得：
小球做完整的圆周运动的次数为：
求得：
如图所示，竖直固定的半圆弯管与上部的水平管和下部的水平地面均相切，管的半径为R，各表面均光滑。小球A、B由轻弹簧相连，质量均为2m，开始时A球靠在墙边，A、B处于静止状态。小球C的质量为m，现C以某一初速度v0由水平管进入弯管，然后与B正碰，碰后两者速度相同，但不粘连，最后C球恰能返回水平管道。求：
（1）C球的初速度v0；
（2）A球离开墙后弹簧的最大弹性势能（此时B球尚没有进入管）。
正确答案
解：（1）设小球C到达水平地面时的速度为v1，由机械能守恒定律得：
设C球与B球碰撞后的共同速度为v2，由动量守恒定律得：mv1=3mv2
碰撞后两球一起向左压缩弹簧，当弹簧再次恢复原长时，B、C分离，它们的速度大小仍是v2。已知C球沿弯管恰能返回水平管，则有到达水平管时的速度为零，由机械能守恒定律得：
解得：
解得：
解得：
（2）弹簧恢复原长后，A球离开墙壁，经过一段时间，A、B两球速度达到相同时，弹簧的弹性势能最大。设此时A、B的共同速度为v3，由动量守恒定律得：2mv2=4mv3
解得：
根据能量守恒，弹簧的最大弹性势能为：
如图所示，半径为R的
（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能为多少？
（2）要使小球A与小球B能发生二次碰撞，m1与m2应满足什么关系？
正确答案
解：（1）设A球到达圆弧底端时的速度为v0
根据机械能守恒定律有：
当A、B两球速度相同时，弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v
根据动量守恒定律有：
根据机械能守恒定律有：
联立①②③解得：
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1和v2
根据动量守恒定律有：
根据机械能守恒定律有：
联立⑤⑥解得：
要使A、B两球能发生二次碰撞，必须满足
则有：
解得：
一质量为m的小滑块A沿斜坡由静止开始下滑，与一质量为km的静止在水平地面上的小滑块B发生正碰撞，如图所示。设碰撞是弹性的，且一切摩擦不计。为使二者能且只能发生两次碰撞，则k的值应满足什么条件？
正确答案
解：设A与B碰撞前A的速度为v0，碰后A与B的速度分别为v1与V1，由动量守恒及机械能守恒定律有
由此解得
为使A能回到坡上，要求v1<0，这导致k>1；为使A从坡上滑下后再能追上B，应有
对于第二次碰撞，令v2和V2分别表示碰后A和B的速度，同样由动量守恒及机械能守恒定律有：
由此解得
若v2>0，则一定不会发生第三次碰撞，若v2<0，且
故为使第三次碰撞不会发生，要求A第三次从坡上滑下后速度的大小不大于B速度的大小，即
由⑥⑦⑧式得
由 k2－10 k + 5 =0 可求得
⑨式的解为
⑩与⑤的交集即为所求：
（选修3-5选做题）
如图，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点。让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平。从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°。忽略空气阻力，求
（1）两球a、b的质量之比；
（2）两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比。
正确答案
解：（1）设球b的质量为m2，细线长为L，球b下落至最低点，但未与球a相碰时的速度为v，由机械能守恒定律得
式中g是重力加速度的大小。设球a的质量为m1；在两球碰后的瞬间，两球共同速度为v'，以向左为正。有动量守恒定律得
设两球共同向左运动到最高处，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定律得
联立①②③式得
代入数据得
（2）两球在碰撞过程中的机械能损失是
联立①⑥式，Q与碰前球b的最大动能Ek（Ek=
联立⑤⑦式，并代入题给数据得
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