导数及其应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知函数，表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为，给出以下结论：

①的解析式为，；

②的极值点有且仅有一个；

③的最大值与最小值之和等于. 其中正确结论的编号是。

正确答案

①③

试题分析：函数的图象过原点，可得；又，且在处的切线斜率均为，，解得，所以，因此①正确；令可得，所以②不正确；根据单调性可以求出的最值，可以判断出③正确，所以正确的结论为①③．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，应用导数求函数的极值点，最大值与最小值等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

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题型：填空题

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填空题

已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则．

正确答案

32

试题分析：，令，可得，所以该函数在上单调递增，在上单调递减，代入函数可以求得所以该函数的最大值为24，最小值为-8，所以32.

点评：解决此类问题，关键是找出函数在该区间上的单调性，而导数是研究函数单调性的有力工具.

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题型：填空题

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填空题

若函数在上单调递增，则的取值范围是 .

正确答案

试题分析：因为在上单调递增，所以上恒成立，所以，即。

点评：已知函数单调性，求参数范围问题的常见解法：设函数f（x）在（a，b）上可导，若f（x）在（a，b）上是增函数，则可得f′（x）≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是减函数，，则可得f′（x）≤0．

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题型：简答题

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简答题

设函数

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（3）设函数，若在上至少存在一点使成立，求实数的取值范围.

正确答案

（1）y=x-1（2）（3）

（1）先求出也就是点(1,f(1))处切线的斜率，然后可写出切线的点斜式方程再转化为一般式即可.

(2)根据在上恒成立，从而转化为不等式恒成立问题来研究.

（3）解本小题的关键是确定在[1,e]上至少存在一点x0使f(x0)≥g(x0)的实质是

,然后分别研究f(x),g(x)在[1,e]的最值即可.

（3）

在[1,e]上至少存在一点x0使f(x0)≥g(x0)

当a<0时

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题型：简答题

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简答题

（ 10分）已知函数

（1）（4′）求

（2）（6′）求的最小值

正确答案

解：（1）（4′）由题意知

略

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题型：填空题

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填空题

已知，若满足不等式组, 则的取值范围是．

正确答案

试题分析：因为，=，所以，即，

画出可行域及直线2x+y=0,平移直线2x+y=0,当直线分别经过点A（0,1）,B（2,2）时，取到最大值、最小值，故的取值范围是。

点评：中档题，拼凑明显，思路明确。解答简单线性规划问题，基本步骤是：画，移，解，答。注意到y的系数为负数，平移方向与其系数为正时相反。

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题型：简答题

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简答题

已知函数为常数，e是自然对数的底数.

（Ⅰ）当时，证明恒成立；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围.

正确答案

（Ⅰ）确定函数有最小值，所以恒成立.

（Ⅱ）实数的取值范围是．

试题分析：（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的单调递增区间是，

由得，故的单调递减区间是．

所以函数有最小值，所以恒成立.

（Ⅱ）由可知是偶函数．

于是对任意成立等价于对任意成立．

由得．

①当时，．

此时在上单调递增．

故，符合题意．

②当时，．

当变化时的变化情况如下表：

由此可得，在上，．

依题意，，又．

综合①，②得，实数的取值范围是．

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及不等式恒成立问题，转化成了研究函数的单调性及最值，得到求证不等式。

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题型：填空题

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填空题

若曲线存在斜率为的切线，则实数的取值范围是 .

正确答案

本题考查曲线的切线

由曲线得

函数的导数为

曲线存在斜率为的切线，即，

则有实数根，即有实数根；

因为，所以，所以

故

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝________.

正确答案

0

由，得，所以，则.

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题型：填空题

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填空题

（（本小题14分）

已知函数

（I）若函数在时取得极值，求实数的值；

（II）试讨论函数的单调性；

正确答案

（） ……………………………1分

（I）∵函数在时取到极值

∴解得

经检验函数在时取到极小值（不检验扣1分）

∴实数的值－2 …………………………4分

（II）由得或 …………………………5分

①当时，

由得

∴函数得单调增区间为，单调减区间为…………7分

②当时，，同理可得函数得单调增区间为，

单调减区间为 ………………………………9分

（II）假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，则

即解得或

∴A,B

略

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题型：填空题

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填空题

已知函数，则；

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本题满分12分）

已知函数。

(1)：当时，求函数的极小值；

(2)：试讨论函数零点的个数。

正确答案

解：

(1)当时，

1

+

0

-

0

+

增

极大值

减

极小值

增

∴………………………………………………………4分

(2) 当时，显然只有一个零点；

当时，在，递减；在递增，

则有三个零点。

当时，在，递增；在递减，

则只有一个零点。

当时，在R上是增函数，，∴只有一个零点。

当时，在，递减；在递增，

则只有一个零点。

综上所述：当时，只有一个零点；当时，有三个零点…12分

略

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题型：填空题

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填空题

曲线在点（1 , 3）处的切线方程是_____▲__ _。

正确答案

y=4x-1

略

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题型：填空题

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填空题

已知正数满足，，则的最小值为______________

正确答案

９

略

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题型：简答题

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简答题

（16分）如图所示，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.

正确答案

点M到x轴的最短距离是+1

设P（x0，y0），则y0=x,

∴过点P的切线斜率k=x0,

当x0=0时不合题意，∴x0≠0.

∴直线l的斜率kl=-=-,

∴直线l的方程为y-x=-(x-x0).

此式与y=x2联立消去y得

x2+x- x-2=0.

设Q（x1,y1）,M(x,y).∵M是PQ的中点，

∴,

消去x0，得y=x2++1(x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x2＞0,

∴y=x2++1≥2+1=+1.

上式等号仅当x2=,即x=±时成立，

所以点M到x轴的最短距离是+1.

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