- 导数及其应用
- 共6208题
若对任意,不等式
恒成立,则实数
的范围 .
正确答案
试题分析:∵不等式恒成立,∴
恒成立,即
恒成立,当
时,
恒成立,∴
,又
,∴
,∴
;当
时,
恒成立,∴
,又
,∴
,∴
。综上所述,满足题意的a的范围为
点评:分离变量法是解决含参不等式恒成立问题的常用方法之一,要掌握其步骤
(本小题满分12分)
已知a为实数,
(1)求导数;
(2)若,求
在[-2,2] 上的最大值和最小值;
正确答案
(1)(2)最大值为
最小值为
试题分析:解:⑴由原式得∴
⑵由 得
,此时有
.
由得
或x="-1" , 又
所以f(x)在[-2,2]上的最大值为最小值为
点评:求函数的性质常结合导数来求,此类题目也是考试的热点。
已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)设,若对任意
,均存在
,使得
,求a的取值范围.
正确答案
解:(1)函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2).
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
(1)根据已知条件,可知求解函数的导数,然后利用导数的符号判定单调性。
(2)原命题可知转换为,然后通过研究最值得到结论。
已知曲线:
和点
,则过点
且与曲线
相切的直线方程为
正确答案
或
(注:只写
的给2分)
或
已知,则
.
正确答案
-4.
.
函数在点
处的切线方程为 .
正确答案
试题分析:因为,所以函数
在点
处的切线的斜率为
,由直线的点斜式可得切线方程为
即
.
曲线在点(1,1)处的切线方程为 ;
正确答案
试题分析:将点代入曲线方程成立,则点
即为切点。因为
,由导数的几何意义可知所求切线的斜率为
,所以所求切线方程为
,即
。
设曲线在点
处的切线与直线
垂直,则
.
正确答案
解:因为曲线在点
处的切线与直线ax+y+1=0垂直,故
,所以-a=1,a=-1
记函数的导数为
的导数为
的导数为
。若
可进行n次求导,则
均可近似表示为:
若取n=4,根据这个结论,则可近似估计自然对数的底数 (用分数表示)
正确答案
解:设f(x)=ex,则
故e=
求曲线在点
处的切线方程。
正确答案
要求切线方程,首先求出切点,然后求解在该点的斜率,利用点斜式方程得到所求解的切线方程。
解:根据导数的几何意义知,要求曲线的切线方程,需先求函数在切点的导数(切线斜率)由,得
,所以
故切线方程为,即
略
(本题满分12分)
已知幂函数图象经过点,求出函数解析式,并指出函数的单调性与奇偶性。
正确答案
解:设函数解析式为
因其图象过点,所以有
故(
)为所求
此函数在上是增函数,是非奇非偶函数。
略
已知函数(m为常数,且m>0)有极大值9.
(1)求m的值;
(2)若斜率为-5的直线是曲线的切线,求此直线方程
正确答案
解:(Ⅰ) f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则x=-m或x=m,
当x变化时,f’(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-m)
-m
(-m,)
(,+∞)
f’(x)
+
0
-
0
+
f (x)
极大值
极小值
从而可知,当x=-m时,函数f(x)取得极大值9,
即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,
依题意知f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1或x=-.
又f(-1)=6,f(-)=
,
所以切线方程为y-6=-5(x+1),或y-=-5(x+
),
即5x+y-1=0,或135x+27y-23=0.
略
下列命题中正确的有 .(填上所有正确命题的序号)
①若取得极值;
②若,则f(x)>0在
上恒成立;
③已知函数,则
的值为
;
④一质点在直线上以速度运动,从时刻
到
时质点运动的路程为
。
正确答案
③
试题分析:若要取得极值需
两边导数不相同,像
,虽然
,但在
两边的导数都是大于0,则函数在
不能取得极值,所以①错误;若
,
,则
,但
,故②错误;由
得:
,则
等于圆的面积的
,即
,故③正确;一质点在直线上以速度
运动,从时刻
到
时质点运动的路程为
(m),故④错误。综上,只有③正确。
点评:在高中阶段,由于导数应用广,因而成为重要的考点。要学好导数,重在理解。
(本小题满分10分)
已知曲线y=在x=x0处的切线L经过点P(2,
),求切线L的方程。
正确答案
解:设切于点Q(x0,y0), y'=x2
则y-y0=x02(x-x0)经过(2,)
………4分
x03-3x02+4="0 " 解得 x0=-1,或x0="2 " ………8分
∴所求的切线方程为12x-3y-16=0或3x-y+2=0………10分
略
设则
等于
正确答案
略
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