导数及其应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=2x2．

（Ⅰ）求x＜0时，f（x）的表达式；

（Ⅱ）令g（x）=lnx，问是否存在x0，使得f（x），g（x）在x=x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0值；若不存在，请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-2（-x）2=-2x2；（6分）

（Ⅱ）若f（x），g（x）在x0处的切线互相平行，则f'（x0）=g'（x0），（4分）

f′(x0)=4x0=g′(x0)=，解得，x0=±

∵x≥0，得x0=（4分）

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题型：填空题

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填空题

设函数，当自变量由变到时，函数的改变量= 。

正确答案

根据定义：。

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题型：填空题

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填空题

若存在过点的直线与曲线和都相切，则=_____.

正确答案

(只写对一个不给分)

解：由⇒y'=3x2，设曲线y=x3上任意一点（x0，x03）处的切线方程为y-x03=3x02（x-x0），（1，0）代入方程得x0=0或x0="3" /2①当x0=0时，切线方程为y=0，则ax2+15 /4 x-9=0，△="(15" /4 )2-4a×(-9)=0⇒a="-25" /64

②当x0="3/" 2 时，切线方程为y="27/" 4 x-27 /4 ，由 y=ax2+15 /4 x-9 y="27" /4 x-27 /4 ⇒ax2-3x-9 4 =0，△=32-4a(-9 /4 )=0⇒a=-1∴a="-25/" 64 或a=-1．

故答案为：-25/64 或-1

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题型：填空题

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填空题

函数在处的切线斜率为，

则= .

正确答案

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知函数的定义域是，对于任意的，有，且当时，．

（Ⅰ）验证函数是否满足上述这些条件；

（Ⅱ）你发现这样的函数还具有其它什么样的主要性质？试就函数的奇偶性、单调性的结论写出来，并加以证明．

正确答案

解：（Ⅰ）由，即其定义域为；………………………… 2分

又，

，

有成立；……………………………………………………… 4分

又当时，，∴　，有成立；

∴　综上：满足这些条件．……………………………………………… 6分

（Ⅱ）发现这样的函数在上是奇函数．…………………………………………7分

∵　代入条件得，，

∴　函数在上是奇函数．　…………………………………………………9分

又发现这样的函数在上是减函数．　…………………………………………10分

∵，

当时，，由条件知，

即，

∴　函数在上是减函数．……………………………………………………12分

略

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.

正确答案

32

略

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题型：填空题

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填空题

如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，给出下面四个判断．

①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；

②x＝－1是f(x)的极小值点；

③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；

④x＝3是f(x)的极小值点．

其中，所有正确判断的序号是________．

正确答案

（2）（3）

略

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题型：简答题

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简答题

（14分）已知函数f(x)=在x=-2处有极值.

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围.

正确答案

（1）（-2，0）（2）

（Ⅰ） …………………………………………1分

由题意知: ,得a=-1，………………………2分

∴，

令，得x<-2或x>0, ………………………4分

令，得-2

∴f(x)的单调递增区间是（-¥，-2）和（0，+¥），

单调递减区间是（-2，0）。…………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)= ，

f(-2)=为函数f(x)极大值，f(0)=b为极小值。…………………8分

∵函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，

∴或或或或，

即，…………………………………………………………13分

∴，即b的取值范围是。 …………………14分

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题型：填空题

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填空题

过抛物线y=上一点A（1，0）的切线的倾斜角为45°则=__________.

正确答案

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由题意可知切线斜率为1，由导数定义知=1

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线在处的切线，则与坐标轴围成的图形面积是。

正确答案

，∴，∴切线的斜率为，又时，，∴切点为，∴，令得，令得，∴。

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题型：填空题

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填空题

已知函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），f（x）的图象在点P处的切线方程是x+y-8=0，若点P的横坐标是5，则f'（5）+f-1（3）=______．

正确答案

∵f（x）的图象在点P处的切线方程是x+y-8=0，若点P的横坐标是5

∴f'（5）=-1，f（5）=3

则f-1（3）=5

∴f'（5）+f-1（3）=-1+5=4

故答案为：4

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下左表，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是______．

正确答案

由图知函数f（x）在[-2，0]上，f′（x）＜0，函数f（x）单减；

函数f（x）在[0，+∞）上，f′（x）＞0，函数f（x）单增；

或，

表示点（a，b）与点（-3，-3）连线斜率，

故的取值范围为（，）．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=x3+2x2-ax+1，

(Ⅰ)若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，求实数a的值；

(Ⅱ)若函数g(x)=f′(x)在区间(-1，1)上存在零点，求实数a的取值范围．

正确答案

解：由题意，得g(x)=f′(x)=3x2+4x-a，

(Ⅰ)f′(1)=3+4-a=4，∴a=3；

(Ⅱ)(1)当g(-1)=-a-1=0，a=-1时，g(x)=f′(x)的零点；

(2)当g(1)=7-a=0时，f′(x)的零点(-1，1)，不合题意；

(3)当g(1)g(-1)＜0时，-1＜a＜7；

(4)当时，∴；

综上所述，。

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题型：简答题

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简答题

设函数g(x)=x3+ax2-bx(a，b∈R)，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．

（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求f（x）的表达式；

（2）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a2+b2的最小值．

正确答案

（1）根据导数的几何意义知f（x）=g'（x）=x2+ax-b

由已知-2、4是方程x2+ax-b=0的两个实数

由韦达定理，∴，f（x）=x2-2x-8（7分）

（2）g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，

所以在[-1，3]区间上恒有f（x）=g'（x）=x2+ax-b≤0，即f（x）=x2+ax-b≤0在[-1，3]恒成立

这只需满足即可，也即

而a2+b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，

所以当时，a2+b2有最小值13．（14分）

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题型：简答题

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简答题

设函数的定义域是,其中常数.

(1)若,求的过原点的切线方程.

(2)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.

(3)证明当时,对任何,有.

正确答案

(1)切线方程为和.(2)的最大值是.（3）详见解析.

试题分析：(1)一般地，曲线在点处的切线方程为：.注意，此题是求过原点的切线，而不是求在原点处切线方程，而该曲线又过原点，故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)令,则问题转化为对恒成立.注意到,所以如果在单调增,则必有对恒成立.下面就通过导数研究的单调性.（3）不等式可变形为：.为了证这个不等式，首先证；而证这个不等式可利用导数证明.故令，然后利用导数求在区间上范围即可.

试题解析：(1).若切点为原点,由知切线方程为;

若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根.

又,故切线方程为.

综上所述,所求切线有两条,方程分别为和.

(2)令,则,,显然有,且的导函数为：

.

若,则,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.

若,则,由知存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立.

综上所述,所求的最大值是.

（3）当时，令，则，故当时，恒有，即在单调递减，故，对恒成立.又，故，即对恒有：

，

在此不等式中依次取，得：

，，

，

…………………………

，

将以上不等式相加得：，即.

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