热门试卷

解：（1）由题意知

∵曲线y= f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切

∴

∴

（2）∵，

∴①当a＜0时，f′（x）>0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点。

②当a>0时，由f′（x）=0可得

i）当时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增；

ii）当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

iii）当时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增

综上可知，是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点。

（Ⅰ）6x+2y﹣1=0（Ⅱ）g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3

试题分析：（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．

解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3

令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1

∴f（1）=﹣，

又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，

故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．

（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x

从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x

令g'（x）=0，则x=0或x=3

∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，

当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，

当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，

∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．

（1）时，函数在上单调递增；当，函数在和上单调递增；在上单调递减；（2）所以函数Q点处的切线与直线AB平行；

（3）图象不存在不同的两点A、B具有（2）问中所得出的结论.

试题分析：（1）求导即可知其单调性；（2）利用导数求出函数在点Q处的切线的斜率，再求出直线AB的斜率，可看出它们是相等的，所以函数在Q点处的切线与直线AB平行；

（3）设，若满足（2）中结论，则有

，化简得（*）.如果这个等式能够成立，则存在，如果这个等式不能成立，则不存在.设，则*式整理得，问题转化成该方程在上是否有解.再设函数，下面通过导数即可知方程在上是否有解，从而可确定函数是否满足（2）中结论.

（1）由题知，

当即时，，函数在定义域上单调递增；

当，由解得，函数在和上单调递增；在上单调递减；                                             4分

（2），，

所以函数Q点处的切线与直线AB平行；            .7分

（3）设，若满足（2）中结论，有

，即

即   （*）               .9分

设，则*式整理得，问题转化成该方程在上是否有解； 11分

设函数，则，所以函数在单调递增，即，即方程在上无解，即函数不满足（2）中结论    14分

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.

试题分析：(Ⅰ) 利用导数分析单调性，进而求最值；(Ⅱ)利用不等式的放缩和数列的裂项求和

试题解析：（I）化为

易知，，设

，设，

，

，上是增函数，

（Ⅱ）由（I）知：恒成立，

令，

取

相加得：

即

证明完毕

（Ⅰ）125（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

（Ⅰ）甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，

故共有（种）．

（Ⅱ）三名学生选择三门不同选修课程的概率为：．

∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：．

（Ⅲ）由题意：．

；          ；

；        ．

的分布列为

数学期望=．----------------13分

略

（1）

对任意的------------------------------------------- 1分

-------------------------------- 3分

∵ 

∴

∴，函数在上单调递增。----------------5分

（2）解：令，------------------------------------7分

令（负值舍去）--------------------------------------9分

将代入得--------10分

（3）∵ ∴   ----------------------------------------12分

∵   ∴（等号成立当）--------------------14分

∴的取值范围是-------- 16分

解：（1）当k=2时，f（x）=ln（1+x）-x+x2，f'（x）=

由于f（1）=ln2，

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

即3x-2y+21n2-3=0；

（2），

当k=0时，

所以，在区间（-1，0）上，f'（x）>0；

在区间（0，+∞）上，f'（x）<0

故f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）

当0＜k＜1时，由

得

所以，在区间（-1，0）和上，f'（x）>0；

在区间上，f'（x）<0

故f（x）的单调递增区间是（-1，0）和，单调递减区间是

当k=1时，

故f（x）的单调递增区间是（-1，+∞）

当k>1时，由

得

所以，在区间和（0，+∞）上，f'（x）>0

在区间上，f'（x）<0

故f（x）的单调递增区间是和（0，+∞）

单调递减区间是。

（1）；（2）实数的取值范围是；（3）实数的取值范围．

试题分析：（1）求的导数，找出处的导数即切线的斜率，由点斜式列出直线的方程即可；（2）求出函数的定义域，在定义域内利用导数与函数增减性的关系，转化为恒成立问题进行求解即可；(3)讨论在定义域上的最值，分情况讨论的增减性，进而解决存在成立的问题即可．

（1）当时，函数，

，曲线在点处的切线的斜率为

从而曲线在点处的切线方程为，即    3分

（2）

令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立

由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

∴，     只需，即时，

∴在内为增函数，正实数的取值范围是         7分

（3）∵在上是减函数

∴时，；时，，即

①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数

当时，，因为，所以，

此时，在内是减函数

故当时，在上单调递减，不合题意

②当时，由，所以

又由(Ⅱ)知当时，在上是增函数

∴，不合题意      12分

③当时，由(Ⅱ)知在上是增函数，

又在上是减函数，故只需，

而，

即，解得

所以实数的取值范围是     15分．

（1）；（2）

试题分析：（1）确定的值，需要确定两个独立的条件，依题意，首先在曲线上，代入得关于的方程，再，又得关于的方程，联立求；（2）多元函数，可采取选取主元法．由题意知，对任意的，在上恒成立，首先采取参变分离法，变形为恒成立，左边看作自变量为的函数

，，只需求函数的最大值，且．

试题解析：（1），切线斜率，

由题知，即，解得．

（2）由题知对任意的，在上恒成立，

即恒成立．

设，则

，

令，则对任意的，恒有，则恒有

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增。

＝４，

所以，即

（1）f（x）=x2-3ax-a+3，

函数f（x）在点P（0，f（0））的切线方程为y=5x+l，

则∴a=-2，b=l，（4分）

（2）g(x)=-g′(x)==（6分）

因为在[1，2]上求y=g（x）的最大值，故只讨论x＞O时，g（x）的单调性．

∵a＜3∴3-a＞O，令g’（x）=0x=

∵当0＜x＜时，g'（x）＜O，g（x）单调递减；

当x≥时，g'（x）＞0．g（x）单调递增．lO分

∴当x=1或x=2时．g（x）取得最大值g（1）或g（2）

其中g（1）=4-4a，g(2)=，由g（1）＞g（2）得4-4a＞⇒a＜1

故当a＜1时，g（x）max=g（1）=4-4a；

当1≤a＜3时，g(x)max=g(2)=（14分）

(1)  ；(2) ；(3)参考解析

试题分析：(1)因为函数当时，求函数的极小值，即对函数求导通过求出极值点，即可求出极小值.

(2)过曲线外一点作曲线的切线，是通过求导得到切线的斜率等于切点与这点斜率.建立一个等式，从而确定切点横坐标的大小，由于该方程不能直接求解，所以通过估算一个值，在证明该函数的单调性，即可得到切点的横坐标.

(3)因为根据定义在上的函数在点处的切线方程为当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”．该定义等价于切线穿过曲线，在的两边的图像分别在的上方和下方恒成立.当时，通过讨论函数的单调性即最值即可得结论.

试题解析：(1)当时，，

当时，；当时；当时.

所以当时，取到极小值.

(2)，所以切线的斜率

整理得,显然是这个方程的解，

又因为在上是增函数，

所以方程有唯一实数解，故.

(3)当时，函数在其图象上一点处的切线方程为

，

设，则，

若，在上单调递减，

所以当时，此时；

所以在上不存在“转点”.

若时,在上单调递减,所以当时, ，此时，

所以在上不存在“转点”.

若时，即在上是增函数，

当时，，

当时，， 即点为“转点”，

故函数存在“转点”，且是“转点”的横坐标.

（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是

（2）当时，；

当时，；

当时，

（1），，  

由得，解得或．

注意到，所以函数的单调递增区间是．

由得，解得，

注意到，所以函数的单调递减区间是．

综上所述，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）当时，，所以，

设．

①当时，有，此时，所以，在上单调递增．所以．               

②当时，，

令，即，解得或(舍)；

令，即，解得．

若，即时，在区间单调递减，

所以．

若，即时，在区间上单调递减，

在区间上单调递增，

所以．

若，即时，在区间单调递增，

所以．                 

综上所述，当时，；

当时，；

当时，．