导数及其应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本题满分15分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，建一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。

（1）试写出关于的函数关系式；

（2）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？

正确答案

（本题满分15分）

解：（1）设需要新建个桥墩，即：

所以=

……………………………7分

（2）由（1）知，

令，得，所以=64………………………………………9分

当0<<64时<0，在区间上为减函数

当时，>0. 在区间上为增函数，……………12分

所以在=64处取得最小值，此时，……………14分

答：需新建9个桥墩才能使最小. ………………………………………15分

略

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题型：填空题

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填空题

已知函数及其导函数的图象如图所示，则曲线在点处的切线方程是___▲___．

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本题满分10分）已知定义在R上的函数

（1）判断函数的奇偶性

（2）证明在上是减函数

（3）若方程在上有解，求的取值范围？

正确答案

解：（1）因为定义域为R,且，所以函数为偶函数----------------------------3分

（2）证明

所以在（0,1）上是减函数。

（用求导做同样给分）-------6分

（3）当时，函数单调递减，

又因为是偶函数，所以当时，

所以当时，方程在（-1,1）上有解。------10分

略

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分14分)

已知函数f(x)=－x3+bx2+cx+bc，

(1)若函数f(x)在x=1处有极值－，试确定b、c的值；

(2)在(1)的条件下，曲线y=f(x)+m与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围；

(3)记g(x)=|f′( x)|(－1≤x≤1)的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．

(参考公式：x3－3bx2+4b3=(x+b)(x－2b)2)

正确答案

解：(1)解得或.………………2分

若,,

在上单调递减,在处无极值；

若,,,

直接讨论知,在处有极大值,所以为所求. ………………4分

(2)由(1),,………6分

当或,曲线与轴仅有一个交点.………8分

因此,实数的取值范围是或.……………9分

(3) .若,

则在是单调函数,

,因为与之差的绝对值,所以.………………11分

若,在取极值,

则,.

若,,

；

若,,

.

当,时,在上的最大值.…………13分

所以,的取值范围是.………………14分w

略

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题型：简答题

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简答题

（本题9分）已知函数，是的导函数

（1）求函数的最小正周期；

（2）若，求的值。

正确答案

解：（1）

（2）

略

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题型：填空题

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填空题

已知函数y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．

正确答案

b<－1或b>3

略

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题型：填空题

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填空题

函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．

正确答案

a>2或a<－1

略

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题型：简答题

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简答题

.已知函数

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围

（Ⅲ）记函数，若的最小值是，求函数的解析式

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

．（本小题满分）已知函数的图象在点处的切线方程为

（I）求出函数的表达式和切线的方程；

（II）当时（其中），不等式恒成立，求实数的取值范围.

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

2014年青奥会水上运动项目将在J地举行，截止2010年底，投资集团B在J地共投资100万元

用于地产和水上运动项目的开发。经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额（单位：百万元）的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额（单位：百万元）的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元。

（1）B集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？

（2）假设2012年起，J地政府每年都要向B集团征收资源占用费，2012年征收2百万元后，以后每年征收的金额比上一年增加10%，若B集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值（预期最大利润与最小利润的平均数）不低于投资额的18%，问B集团投资是否成功？

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

已知，，

（Ⅰ）对一切恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）当求函数()上的最小值.

正确答案

解：（Ⅰ）对一切恒成立，即恒成立.

也就是在恒成立.

令，则，

在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以.

（Ⅱ）当，

，由得.

①当时，在上，在上

因此，在处取得极小值，也是最小值，

②当，，因此上单调递增，

所以

略

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题型：简答题

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简答题

直线分抛物线与轴所围成图形为面积相等的两个部分,求的值.

正确答案

解：解方程组得：直线分抛物线的交点的横坐标为

和

抛物线与轴所围成图形为面积为

由题设得

又，所以，从而得：

略

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题型：填空题

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填空题

.设函数

（Ⅰ）当曲线处的切线斜率

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。

正确答案

解析：当

所以曲线处的切线斜率为1.（2），令，得到因为

当x变化时，的变化情况如下表：

在和内减函数，在内增函数。

函数在处取得极大值，且=

函数在处取得极小值，且=

（3）由题设，

所以方程=0由两个相异的实根，故，

且，解得

因为

若，而，不合题意

若则对任意的有

则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得综上，m的取值范围是

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数；

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数在上的最大值和最小值．

正确答案

解:（1）f′(x)=-x,k="f’(0)=1," f(0)=0切线y=x

（2）令f′(x)=0，即-x=0,化简为x2+x-2=0,解得x1=-2(舍去),x2=1.

当0≤x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当1

所以f(1)=ln2-为函数f(x)的极大值.

又因为f(0)=0,f(2)=ln3-1>0,f(1)>f(2),

所以f(0)=0为函数f(x)在［0,2］上的最小值,

f(1)=ln2-为函数f(x)在［0,2］上的最大值.

略

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题型：简答题

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简答题

本小题满分14分）

三次函数的图象如图所示，直线BD∥AC，且直线BD与函数图象切于点B，交于点D，直线AC与函数图象切于点C，交于点A．

（1）若函数f(x)为奇函数且过点（1，-3），当x<0时求的最大值；

（2）若函数在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求的单调递减区间；

（3）设点A、B、C、D的横坐标分别为，，，

求证；

正确答案

解：（1）由已知得a=c=0,b=-4,当x<0时当且仅当x=-2时取得最大值-43分

（2），依题意有……5分

从而，令

有或

由于在处取得极值，因此，得到

1若，即，则当时，，

因此的单调递减区间为； ………………7分

2若，即，则当时，，

因此的单调递减区间为。…………………………8分

（3）设直线BD的方程为因为D点在直线上又在曲线上，所以即

得到：从而，同理有

，由于AC平行于BD，因此，得到

进一步化简可以得到，从而

又，

因此……………14分

略

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正确答案

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