- 导数及其应用
- 共6208题
如图，长方形的四个顶点为
正确答案
试题分析：先求出a，然后根据积分求解出阴影部分的面积，再求解正方形的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率．解：∵曲线y=ax2经过点B（1，2）∴a=2，y=2x2，∴长方形部分面积S=1×2=2阴影部分面积S阴影=2-
点评：本题考查几何概型的概率，可以为长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．
曲线
正确答案
x-y-2=0
本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
∵y=4x-x3，，∴f'（x）=4-3x2，当x=-1时，f'（-1）=1得切线的斜率为1，所以k=1；，所以曲线在点（-1，-3）处的切线方程为：，y+3=1×（x+1），即x-y-2=0．，故答案为：x-y-2=0
欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=-1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
设
正确答案
解：求导函数，可得g′（x）=1-
∴g（x）max=g（e）=e-1，f′(x)=1-
∵a＞0，x=±
当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，
∴f（x）min=f（1）=1+a≥e-1，∴a≥e-2；
当1≤a≤e2，f（x）在[1，
∴f（x）min=f（ a ）=2
当a＞e2时 f（x）在[1，e]上单调减，
∴f（x）min=f（e）=e+
综上a≥e-2
故答案为：[e-2，+∞）
函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是______
正确答案
(0,1]
略
若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是________
正确答案
(－∞，0)
略
函数
正确答案
先对函数f（x）=x+asin x进行求导，根据原函数是R上的增函数一定有其导函数在R上大于等于0恒成立得到1+acosx≥0，再结合cosx的范围可求出a的范围．
解答：解：∵f′（x）=1+acosx，
∴要使函数f（x）=x+asinx在R上递增，则1+acosx≥0对任意实数x都成立．
∵-1≤cosx≤1，
①当a＞0时-a≤acosx≤a，
∴-a≥-1，∴0＜a≤1；
②当a=0时适合；
③当a＜0时，a≤acosx≤-a，
∴a≥-1，
∴-1≤a＜0．
综上，-1≤a≤1．
故答案为：[-1，1]
（本小题满分12分）设
(1)若
正确答案
解：（1）若
（2）当
当
综上
略
已知函数
正确答案
略
已知函数
（Ⅰ）若曲线
（Ⅱ）求函数
正确答案
解：
（I）因为曲线
所以
(II)当
当
对于
当
综上，
①当
②当
③当
略
半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_______________________②，②式可以用语言叙述为：________________________.
正确答案
(πR3)′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
略
过原点作函数
正确答案
略
已知以
正确答案
略
已知
（1）求函数
(2)设实数
（3）证明对一切
正确答案
（1）
（1）
（2）
当
当
(3)问题等价于证明
当且仅当
（本小题满分14分）
已知函数
在
(Ⅰ)如果函数
(Ⅱ)研究函数
(Ⅲ)若把函数
求
正确答案
m=2,∴当
当
∴当
当
（10分）
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，
∴当
当
得
当
∴
（本小题满分12分）已知函数
（1）解不等式：
（2）当
正确答案
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