导数及其应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题

若直线与曲线相切，则实数 .

正确答案

解：∵y=2lnx，

∴y'=，设切点为（m，2lnm），得切线的斜率为2 m，

所以曲线在点（m，2lnm）处的切线方程为：

y-2lnm="2" m ×（x-m）．

它过点（0，-3），∴-3-2lnm=-2，

∴m="e" - ，

∴k="2" m ="2" e故答案为：2 e ．

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题型：填空题

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填空题

设函数，该曲线以点处的切线平行于直线，则该曲线的切线方程 .

正确答案

解：因为

设切点为利用点斜式方程得到为

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题型：简答题

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简答题

已知函数在上为增函数，函数在上为减函数.

（1）分别求出函数和的导函数；

（2）求实数的值；

（3）求证：当时,

正确答案

当x>0时, 1+1/x>1,

所以由(1)知：f(1+1/x)>f(1),即：ln(1+1/x)+ x/(x+1)>1,化简得：(1+x)ln(1+1/x)>1

g(1+1/x)

所以当x>0时

略

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题型：填空题

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填空题

已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为

正确答案

3

略

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程为 ▲ .

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

曲线处的切线倾斜角为________.

正确答案

.

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题型：填空题

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填空题

已知函数，则．

正确答案

∵，∴，∴

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题型：填空题

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填空题

曲线y＝ex在处的切线方程是 .

正确答案

y=ex

,切点为(1,e),所以在x=1处的切线方程为即y=ex.

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分）

设是函数的零点，.

（Ⅰ）求证：，且；

（Ⅱ）求证：.

正确答案

解:（I）在上是单调递增的，是唯一的

，且的图象在上是连续不断的，，…4分

又

…6分，同理：……7分；

（II）又，……9

分；

当时，

……13分.

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知函数

（I）求函数处的切线的方程；

（II）设实数

正确答案

解：（Ⅰ）函数的定义域是，

∴， ………………1分

，，切点为(e，0) ，………………3分

∴在处的切线的方程为。 ………………4分

（Ⅱ），，

令得，

知函数在上单调递减；在上单调递增。………………6分

∵，，

⑴当，即，函数在上单调递增，则；

………………7分

⑵当，即，函数在上单调递减，则；

………………8分

⑶当，即，函数在上单调递减，在上单调递增，

，

①当，，，则； …………9分

②当，，，则；………………10分

③当，，，则。………………11分

综上，函数在上的最大值。………………12分

略

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分14分)

已知函数．

（Ⅰ）若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）设（），求证：

．

正确答案

（1）（2）略

（Ⅰ）函数，

则．………………………………………………3分

因为函数在上是单调增函数，

所以在上恒成立．

即在上恒成立．

所以．

因为当时，，

当且仅当，即时等号成立．

所以时．

故实数的取值范围是．…………………………………………………7分

（Ⅱ）令，则．

．

当时，，

所以在上是增函数．

所以．

即．…………………………………………………10分

所以，

，

……

．

所以

．

故所证不等式成立．……………………………………………………………14分

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程是。

正确答案

，∴，∴切线的斜率为，又切线过点，由得切线方程为：。

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题型：简答题

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简答题

（12分）已知函数f(x)=(其中A>0,)的图象如图所示。

（Ⅰ）求A，w及j的值；

（Ⅱ）若tana=2,求的值。

正确答案

（1）A=2，w=2，j=（2）

（Ⅰ）由图知A="2, " ……………………1分

T=2()=p,

∴w="2," ……………………3分

∴f(x)=2sin(2x+j)

又∵=2sin(+j)=2,

∴sin(+j)=1,

∴+j=,j=+,(kÎZ)

∵,∴j= ……………………6分

由（Ⅰ）知：f(x)=2sin(2x+)，

∴=2sin(2a+)=2cos2a=4cos2a-2…………9分

∵tana=2,∴sina=2cosa,

又∵sin2a+cos2a=1,∴cos2a=,

∴= ……………………12分

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题型：简答题

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简答题

设函数＝是奇函数，其中，，。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）判断并证明在上的单调性。

正确答案

（1）（2）见解析

（Ⅰ）由＝是奇函数得：

，即

又

又，或1

若，则（舍去）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，在上单调递增。下用定义证明：设，则：

，

因为，，

，故在上单调递增。

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题型：简答题

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简答题

已知函数在点处的切线方程是x+ y－l=0，其中e为自然对数的底数，函数g（x）=1nx－ cx+ 1+ c（c>0），对一切x∈（0,+）均有恒成立．

（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求证：.

正确答案

（Ⅰ）,,；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义求、，利用导数导数法判断单调性，用函数的最值积恒成立求；（Ⅱ）构造新函数，利用导数法求的最小值，利用结合（Ⅰ）中的结论进行证明.

试题解析：（Ⅰ）,,,

,. (2分)

,由于,

所以当时,是增函数,

当时,是减函数,

,

由恒成立，，即恒成立，① （4分）

令，则，

在上是增函数，上是减函数，

，即，当且仅当时等号成立 .

，

由①②可知，，所以. (6分)

（Ⅱ）证法一:所求证不等式即为.

设,,

当时,是减函数,

,即. (8分)

由（Ⅰ）中结论②可知,,,当时,,

从而 (10分)

.

(或者也可)

即,原不等式成立. (12分)

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