热门试卷

解：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同．

∴f′（x）=x+2a，g′（x）=，

由题意f（x0）=g（x0），

f′（x0）=g′（x0）即，

由x0+2a=得：x02+2ax0﹣3a2=0，

即（x﹣a）（x+3a）=0，解得x0=a或x0=﹣3a（舍去）．

即有b=a2+2a2﹣3a2lna=a2﹣3a2lna，

令h（t）=t2﹣3t2lnt（t＞0），

则h′（t）=5t﹣6tlnt﹣3t=2t（1﹣3lnt），

于是当t（1﹣3lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；

当t（1﹣3lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0，

故h（t）在（0，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，

则h（t）在（0，+∞）的最大值为h（）=﹣3ln=；

（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=，

则F′（x）=x+2a﹣=（x＞0）．

故F（x）在（0，∞）为减函数，在（a，+∞）为增函数，

于是函数F（X）在x=a时有极小值F（a），

F（X0）=f（x0）﹣g（x0）=0无极大值．

解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．

即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c．

解得c=0.

又直线6x+y+4=0的斜率为﹣6，

所以f '（1）=3a+b=﹣6．

把x=1代入6x+y+4=0中得

f（1）=﹣10

点（1，﹣10）在函数f（x）的图象上，则a+b=﹣10

解得a=2，b=﹣12．

所以a=2，b=﹣12，c=0.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3﹣12x．所以．

所以函数f（x）的单调增区间是和．

因为f（﹣1）=10，，f（3）=18，

f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是．

解：（1）求导函数，可得f′（x）=a﹣ （x＞0）

由f′（1）=a﹣1=2，∴a=3

∴f（1）=3

∴b=f（1）﹣2×1=1

（2）定义域为（0，+∞），f′（x）=a﹣ = 

由f′（x）＞0，得x＞ ，f′（x）＜0，得0＜x＜ 

∴f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ）单调递增

若 ，即a≥1时，f（x）在[1，e]单调递增，

∴f（x）min=f（1）=a=4，此时f（x）max=f（e）=4e﹣1

若 ，即0＜a≤ 时，f（x）在[1，e]单调递减，

∴f（x）min=f（e）=ae﹣1=4，∴ （不合题意）

若 ，即 时，f（x）在（1， ）单调递减，在（ ，e）单调递增，

∴f（x）min=f（ ）=1+lna=4 此时a=e3（不合题意）

综上知，f（x）max=4e﹣1

解：（Ⅰ）由f（x）=ex（x2+ax﹣a）可得，f′（x）=ex[x2+（a+2）x）]，

当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e．

所以 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=4e（x﹣1），

即y=4ex﹣3e．

（Ⅱ） 令f′（x）=ex[x2+（a+2）x）]=0，

解得x=﹣（a+2）或x=0．

当﹣（a+2）≤0，即a≥﹣2时，在区间[0，+∞）上，f′（x）≥0，

所以f（x）是[0，+∞）上的增函数．

所以方程f（x）=k在[0，+∞）上不可能有两个不相等的实数根．

当﹣（a+2）＞0，即a＜﹣2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表

由上表可知函数f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（﹣（a+2））=．

因为 函数f（x）是（0，﹣（a+2））上的减函数，是（﹣（a+2），+∞）上的增函数，

且当x≥﹣a时，有f（x）≥e﹣a（﹣a）＞﹣a．

所以要使方程x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，

k的取值范围必须是（，﹣a]．

解：（I）求导函数，可得 

∵x=1是函数f（x）的极值点，函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，

 ∴f′（1）=0，f′（2）= 

∴ 

∴b=﹣ ，c= 

∴函数f（x）的解析式为 ；

（II） （x＞0）

①若c＜0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即 

∴ 

②若0＜c＜1，则f极大（x）=f（c）=clnc+ ，f极小（x）=f（1）= 

∵b=﹣1﹣c，

∴f极大（x）=clnc ，f极小（x）= 

∴f（x）=0不可能有两解

③若c≥1，则f极小（x）=clnc ，f极大（x）= ，

∴f（x）=0只有一解

综上可知，实数c的取值范围为

解：（1）由题意，∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1和x=3处有极值

∴f′（x）=3x2+6ax+b的解为﹣1，3

∴ ，

∴ 

（2）由（1）知，f′（x）=3x2﹣6x﹣9

当x=1时，f′（1）=3﹣6﹣9=﹣12

当x=1时，f（1）=1﹣3﹣9+1=﹣10

∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y+10=﹣12（x﹣1），即12x+y﹣2=0．

解：（1） 求导函数可得

∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴

∴f′（1）=0，

∴，

∴a=-1；

（2）由（1）知，（x＞0）=

令f′（x）=0，可得x=1或x=（舍去）

∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；

x＞1时，f′（x）＞0，函数递增

∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3。

解：（1）当a=2，f（x）=（x2-1）ex， f '（x）=（x2+2x-1）ex 

∴f '（1）=2e

又f（1）=0，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

y=2e（x-1），即2ex-y-2e=0。       

（2）因为f '（x）=（x2+2x-a+1）ex ，x1+x2=-2，x1x2=-a+1，

因为 |x1+x2|≥|x1x2|-1，  所以2≥|-a+1|-1，解得-2≤a≤4。

又由△>0得a>0，所以0

又由f '（x）=（x2+2x-a+1）ex=0，x1=

因为0 ∈[-3，-1）

又因为，

所以a=（-1-x1）2=x12+2x1+1

所以，

令=0得x1=-2或2，

在区间[-3，-1）上，g（x1），g'（x1）变化状态如下表：

所以当x1=-2时，g（x1）取得最大值，所以 

（1）由导数的几何意义=12  

∴   

∴  

∴   

（2）∵ ，

∴  由 得，

∵ ［-1，1］，

∴ 当［-1，0）时，，递增；当（0，1］时，，递减。

∴ 在区间［-1，1］上的最大值为

∵ ，

∴ =1

∵ ，

∴

∴ 是函数的最小值，

∴   

∴

∴ =

解：（1）根据导数的几何意义知f（x）=g'（x）=x2+ax﹣b

由已知﹣2、4是方程x2+ax﹣b=0的两个实数

由韦达定理，∴，

f（x）=x2﹣2x﹣8

（2）g（x）在区间[﹣1，3]上是单调减函数，

所以在[﹣1，3]区间上恒有f（x）=g'（x）=x2+ax﹣b≤0，

即f（x）=x2+ax﹣b≤0在[﹣1，3]恒成立

这只需满足即可，也即

而a2+b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方，

其中点（﹣2，3）距离原点最近，所以当时，a2+b2有最小值13．

解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则f'（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b  ①

又f（1）=a+1，g（1）=1+b，

∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=3，b=3。

（2）当a=3，b=-9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2-9x+1

则h′（x）=3x2+6x-9，令h'（x）=0，解得：x1=-3，x2=1；

∴k≤-3时，

函数h（x）在（-∞，-3）上单调增，在（-3，2]上单调减，所以在区间[k，2]上的最大值为h（-3）=28 -3＜k＜2时，

函数h（x）在在区间[k，2]上的最大值小于28

所以k的取值范围是（-∞，-3] 。

解：（I）设；则          

①当时，在上是增函数                      

得：当时，的最小值为          

②当时，                      

当且仅当时，的最小值为。

（II）    

由题意得：。

解：求导函数，f'（x）=x2+2ax﹣b，

∵y=f（x）图象上的点（1，﹣）处的切线斜率为﹣4，

∴f'（1）=﹣4

∴1+2a﹣b=﹣4①

∵f（1）=﹣，

∴+a﹣b=﹣②

由①②解得a=﹣1，b=3，

∴f（x）=，f'（x）=（x﹣3）（x+1）

∴f'（x）=（x﹣3）（x+1）=0，

解得x=﹣1或3．

∴f（x）极大=f（﹣1）=，f（x）极小=f（3）=﹣9．

又f（﹣3）=﹣9﹣9+9=﹣9，f（6）=72﹣36﹣18=18．

∴f（x）在区间[﹣3，6]上的最小值为f（﹣3）=f（3）=﹣9，最大值为f（6）=18．

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0．

∴f（x）=x3﹣3x

（2）∵f（x）=x3﹣3x，

∴f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，

故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，fmax（x）=f（﹣1）=2，fmin（x）=f（1）=﹣2

∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|

|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|=2﹣（﹣2）=4

（3）f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

∵曲线方程为y=x3﹣3x，

∴点A（1，m）不在曲线上．设切点为M（x0，y0），

切线的斜率为（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得2x03﹣3x02+m+3=0．

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，

下研究方程解有三个时参数所满足的条件设g（x0）=2x03﹣3x02+m+3，

则g′（x0）=6x02﹣6x0，由g′（x0）=0，得x0=0或x0=1．

∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．

∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极值点为x0=0，x0=1

∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是，解得﹣3＜m＜﹣2．故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．