热门试卷

解：（1）函数y=x2+2x的导数y′=2x+2，曲线C1在点P（x1，x21+2x1）的切线方程是：

y-（x12+2x1）=（2x1+2）（x-x1），

即y=（2x1+2）x-x12 ①

函数y=-x2+a的导数y′=-2x，

曲线C2在点Q（x2，-x22+a）的切线方程是

y-（-x22+a）=-2x2（x-x2）

即y=-2x2x+x22+a  ②

如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，

所以x1+1=-x2，-x12=x22+a

消去x2得方程2x12+2x2+1+a=0

若判别式△=4-4×2（1+a）=0时，即a=-时解得x1=-，此

时点P与Q重合

即当a=-时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为y=x-。

（2）由（1）可知，当a＜-时C1和C2有两条公切线

设一条公切线上切点为：P（x1，y1）， Q（x2 ，y2）

其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=-1，y1+y2=x12+2x1+（-x22+a）=x21+2x1-（x1+1）2+a=-1+a

线段PQ的中点为

同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是

所以公切线段PQ和P′Q′互相平分。

解：∵，∴y′=-2x，

设，则过M点曲线C的切线斜率k=-2m，

∴切线方程为，

由x=0，得，

由y=0，得，其中0＜m＜2，

设△AOB的面积为S，则

，0＜m＜2，

∴，

令S′=0，得，解得，

当m∈时，S′＜0，S在区间上为减函数；

当m∈时，S′＞0，S在区间上为增函数，

∴当时，S取得最小值，最小值为。

解：（1）因 f（x）=x3+ax2+bx+1，故f'（x）=3x2+2ax+b

令x=1，得f'（1）=3+2a+b，由已知f'（1） =2a，

因此3+2a+b =2a，解得b=-3

又令x=2，得f'（2）=12+4a+b，由已知f'（2）=-b，

因此12+ 4a+b=-b，解得

因此，

从而

又因为，

故曲线y=f（x）在点（1，f（1）） 处的切线方程为

，即6x+2y-1=0。

（2）由（1）知g（x）=（3x2-3x-3）e-x，

从而有g'（x）=（-3x2+9x）e-x，

令g'（x）=0，得-3x2+9x=0，解得x1=0，x2=3

当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0，故g（x）在（-∞，0）上为减函数；

当x∈（0，3）时，g'（x）>0，故g（x）在（0，3）上为增函数；

当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在（3，+∞）上为减函数；

从而函数g（x）在x1=0处取得极小值g（0）=-3，

在x2=3处取得极大值g（3）=15e-3。

解：（1）由题意知

∵曲线y= f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切

∴

∴

（2）∵，

∴①当a＜0时，f′（x）>0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点。

②当a>0时，由f′（x）=0可得

i）当时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增；

ii）当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

iii）当时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增

综上可知，是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点。

解：由f(x)是奇函数，可得a=1，

所以，f（x）＝

（1）F（x）＝＋＝

由＝0，可得＝2，

所以，x=1，即F（x）的零点为x＝1。

（2）f－1（x）＝，在区间上，

由恒成立，即≤恒成立，

即恒成立

即，，

所以，

解：由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2

所以

由在处的切线方程是

知，即

∴即

解得

故所求的解析式是。

(Ⅰ)∵,                                    

∴ 由题意可知：且,                          

∴ 得：，                             

 ∴,,

令，由此可知

当x=－1时, f(x)取极大值                                    

(Ⅱ) ∵在区间[－1，2]上是单调减函数，

∴ 在区间[－1，2]上恒成立.                    

根据二次函数图象可知且，

即：也即                              

作出不等式组表示的平面区域如下图：                                  

当直线经过交点P(－, 2)时，

 取得最小值,                          

∴取得最小值为                

解：由，可得．

（Ⅰ）因为函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为，

得：

解得

（Ⅱ）令f'（x）＞0，得x2+2x﹣a＞0…①

当△=4+4a≤0，即a≤﹣1时，不等式①在定义域内恒成立，

所以此时函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．

当△=4+4a＞0，即a＞﹣1时，不等式①的解为或，

又因为x≠﹣1，

所以此时函数f（x）的单调递增区间为和，

单调递减区间为和．

所以，当a≤﹣1时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）；

当a＞﹣1时，函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为和.

解：（Ⅰ）y′=2x+1，

直线l1的方程为y=3x-3，

设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B（b，b2+b-2），

则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2，

因为l1⊥l2，则有2b+1=，

所以直线l2的方程为。

（Ⅱ）解方程组，得，

所以直线l1和l2的交点的坐标为，

l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、，

所以所求三角形的面积。

解：（1）的图象经过点（0，1），则c=1，

切点为（1，-1），

则的图象经过点（1，-1）得，

；

（2），

单调递增区间为。

解：（1）

所以在点处的切线的斜率

所以切线的方程为，即为所求。

（2）由（1）知恒成立

所以，此函数的单调递增区间为，无单减区间。

解：（1）f′（x）=12x2+2ax+b，

∵y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-12x，

∴，即，解得：a=-3，b=-18，

∴f（x）=4x3-3x2-18x+5。　

（2）∵f′（x）=12x2-6x-18=6（x+1）（2x-3），

令f′（x）=0解得：x=-1或x=，

∴当x＜-1或x＞时，f′（x）＞0，当-1＜x＜时，f′（x）＜0，

∵x∈[-3，1]，

∴f（x）在[-3，1]上无极小值，有极大值f（-1）=16，

又∵f（-3）=-76，f（1）=-12，

∴f（x）在[-3，1]上的最小值为-76，最大值为16。

解：f′（x）=x2+2ax-b，

∴由题意可知：f′（1）=-4且f（1）=-

即

解得

∴f（x）=x3-x2-3x

f′（x）=x2-2x-3=（x+1）（x-3）

令f′（x）=0，得x1=-1，x2=3

由此可知，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

∴当x=-1时，f（x）取极大值。

解：由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2，

所以f（x）=x3+bx2+cx+2，则f'（x）=3x2+2bx+c．

由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y+7=0，知﹣6﹣f（﹣1）+7=0，

即f（﹣1）=1，f'（﹣1）=6

∴，

即，

解得b=c=﹣3，f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．