热门试卷

解：（1）由题意可得b﹣a﹣c=0，函数f（x）=3ax2+2bx+c，且f（0）f（1）=c（3a+2b+c）0．

化简可得 3b2﹣ab﹣2a20，

a0，

3﹣﹣20．解得﹣1，

故 的取值范围是．

（2），

，

故当 ，即a=b时，取最小值，即|x1﹣x2|取最小值．

此时，g（x）=ax3+ax2f（x）=3ax2+2ax．

当a＞0时  f（x）在 上是增函数，在 上是减函数，在（0，+） 上是增函数．

g（x）的极大值为，极小值为g（0）=0．

由题意，a=9，此时g（x）=9x3+9x2．

当a＜0时，f（x）在 在 上是减函数，在 上是增函数，在（0，+） 上是减函数．

g（x）的极大值为g（0）=0，极小值为．

由题意 ，a=﹣9，此时g（x）=﹣9x3﹣9x2．

解：(Ⅰ)因x=1是的一个极值点，

∴，即，

∴b=3，经检验，适合题意，所以b=3。

(Ⅱ)，

∴，

∴，∴，

又∵x＞0（定义域），

∴函数的单调减区间为。

(Ⅲ)，

设过点(2，5)的曲线y=g(x)的切线的切点坐标为，

∴，

即∴，

∴，

令，

∴，∴，

∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，

∵又，

∴h（x）与x轴有两个交点，

∴过点(2，5)可作2条曲线y=g(x)的切线。

解（1）f'（x）=﹣x2+2bx﹣3a2由题意知f'（a）=﹣a2+2ba﹣3a2=0

则b=2a

∴

（2）由已知可得g（x）=2x3+3ax2﹣12a2x+3a3则g'（x）=6x2+6ax﹣12a2=6（x﹣a）（x+2a）

令g'（x）=0，得x=a或x=﹣2a

若a＞0，当x＜﹣2a或x＞a时，g'（x）＞0；

当﹣2a＜x＜a时，g'（x）＜0

所以当x=a时，g（x）有极小值，

∴0＜a＜1若a＜0，

当x＜a或x＞﹣2a时，g'（x）＞0；

当a＜x＜﹣2a时，g'（x）＜0

所以当x=﹣2a时，g（x）有极小值，

∴0＜﹣2a＜1即

所以当或0＜a＜1时，g（x）在开区间（0，1）上存在极小值．

解：（1）由f′（x）=﹣3x2+2ax（a＞0），

令f′（x）=0，得x=0或x= a． 

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

解得b=1，a=1．

∴f（x）=﹣x3+x2+1．

（2）tanθ=f'（x）=﹣3x2+2ax=，

∵a∈[，]，

∴≤≤．

∵x∈[0，1]，

∴f'（0）≤f'（x）≤f'（）．

∴0≤f'（x）≤，即0≤tanθ≤，

∵0≤θ≤π

∴θ∈[0，arctan]，

∴θ的取值范围是[0，arctan]．

解：（1），

由题意，得，解得：，

所以，。

（2）由（1）知，，

令，得，

列表如下：

∴由上表知，当x=-2时，f（x）取得极大值。

解：（Ⅰ）由已知，切点为（2，0），

故有f（2）=0，即4b+c+3=0，①

f′（x）=3x2+4bx+c，

由已知，得8b+c+7=0，②

联立①、②，解得c=1，b=1，

于是函数解析式为f（x）；

（Ⅱ），

，

令g′（x）=0，当函数有极值时，△≥0，方程有实根，

由△=4（1-m）≥0，得m≤1，

①当m=1时，g′（x）=0有实根，在左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）=0无极值；

②m＜1时，g′（x）=0有两个实根，，

当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：

故在m时，函数g（x）有极值，

当时，g（x）有极大值；当时，g（x）有极小值。

解：（1），

令f′(x)=0，得x=0，x=2-a，

当a=2时，恒成立，此时函数f(x)单调递减，x=0不是函数的极值点；

当a＞2时，2-a＜0，若x＞0，则f′(x)＜0；若2-a＜x＜0，则f′(x)＞0，此时x=0是函数f(x)的极大值点；

当a＜2时，2-a＞0，若x＜0，则f′(x)＜0；若0＜x＜2-a，则f′(x)＞0，x=0是函数f(x)的极小值点；

综上所述，使得函数f(x)在x=0处取得极小值的a的取值范围是a＜2。

（2）由（1）知a＜2时，函数f(x)在x=2-a时取得极大值，

故函数f(x)的极大值等于，故，

（x＜2），

令，则，对于x＜2大于零恒成立，即函数h(x)在(-∞，2)单调递减，

故在(-∞，2)上，，即恒有g′(x)＜1，

由直线2x-3y+m=0的斜率是，直线3x-2y+n=0的斜率是，

根据导数的几何意义知曲线g(x)只能可能与直线2x-3y+m=0相切。

解：(Ⅰ)因为，

而函数在x=1处取得极值2，

所以，即，解得，

所以即为所求．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

令f′(x)=0，得x1=-1，x2=1，

则f(x)的增减性如下表：

可知，f(x)的单调增区间是[-1，1]，

所以，，

所以当m∈(-1，0]时，函数f(x)在区间(m，2m+1)上单调递增．

(Ⅲ)由条件知，过f(x)的图象上一点P的切线l的斜率k为：

，

令，则t∈(0，1]，

此时，，

根据二次函数的图象性质知：

当时，；当t=1时，kmax=4；

所以，直线l的斜率k的取值范围是。

解：（1）求导函数，可得f′（x）=3ax2+4bx-3

∵函数f（x）=ax3+2bx2-3x的极值点是x=1和x=-1。

∴f′（1）=f′（-1）=0  

∴，

∴a=1，b=0

此时f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），

可知x=1和x=-1是函数f（x）=ax3+2bx2-3x的极值点；

（2）设切点为P（x0，f（x0） ），则f′（x0）=3x0-3，

∴切线方程为 

即y=3（x0-1）x+x03-3 

∵点A（1，-2）在切线上，

∴-2=3（x0-1）+x03-3 

即x03-3 +3x0-1=0

∴x0=1，

∴切线方程是y=-2。

解：(Ⅰ) f'(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0，

则x=-m或x=m，

当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：

从而可知，当x=-m时，函数f(x)取得极大值9，

即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9，

∴m=2。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2-4x+1，

依题意知f'(x)=3x2+4x-4=-5，∴x=-1或x=-，

又f(-1)=6，f(-)=，

所以切线方程为y-6=-5(x+1)，或y-=-5(x+)，

即5x+y-1=0，或135x+27y-23=0。

解：（1）5x+y-8=0；

（2）当a>0时，极大值为f（a）=0，极小值为；

当a<0时，极大值为，极小值为f（a）=0。

解：a=0，b=-3，c=2。

解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），

当，

，

令f′（x）=0， 解得x=1，（∵x＞0），

因为g（x）=0有唯一解，所以，

当时，，此时f（x）单调递增；

当x＞1时，，此时f（x）单调递减，

所以f（x）的极大值为，此即为最大值。

（2），

则有上恒成立，

所以，

当取得最大值，

所以a≥；

（3）因为方程有唯一实数解，

所以有唯一实数解，

设，

则，

令，

因为，

当上单调递减；

当上单调递增；

当，

则，

所以，

因为m＞0，

所以，（*）

设函数，

因为当x＞0时，h（x）是增函数，

所以h（x）=0至多有一解，

因为h（1）=0，

所以方程（*）的解为，

解得。

解：（1）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，

故f（﹣x）=f（x）

即有（﹣x）2+b（﹣x）+c=x2+bx+c

解得b=0又曲线y=f（x）过点（2，5），

得22+c=5，有c=1

∵g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a

从而g'（x）=3x2+2ax+1，

∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，

故有g'（x）=0有实数解．即3x2+2ax+1=0有实数解．

此时有△=4a2﹣12≥0

解得a∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）

所以实数a的取值范围：a∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；

（2）因x=﹣1时函数y=g（x）取得极值，

故有g'（﹣1）=0即3﹣2a+1=0，

解得a=2

又g'（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）

令g'（x）=0，得=﹣1，x2=

当x∈（﹣∞，﹣1）时，g'（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数

当时，g'（x）＜0，故g（x）在（﹣1，﹣）上为减函数

当x∈（﹣）时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数．