热门试卷

解：（1）由题意可知，抛物线C1的准线方程为：

所以圆心M到抛物线C1准线的距离为；

（2）设点P的坐标为（x0，x02），抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D

再设A，B，D的横坐标分别为

过点P（x0，x02）的抛物线C1的切线方程为：  （1）

当时，过点P（1，1）与圆C2的切线PA为：

可得

所以

设切线PA，PB的斜率为，则

   （2）

  （3）

将分别代入（1），（2），（3），得

从而

又

即

同理

所以是方程的两个不相等的根，从而

，

因为

所以，即

从而

进而得

综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为（，）。

解：(Ⅰ)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1)，

所以=(-x，-1-y)，=(0，-3-y)，=(x，-2)，

再由题意得知，即(-x，-4-2y)·(x，-2)=0，

所以曲线C的方程式为y=x2-2。

(Ⅱ)设P(x0，y0)为曲线C：y=x2-2上一点，因为y′=x，

所以l的斜率为，

因此直线l的方程为，

即，

则O点到l的距离，

又，

所以，当=0时取等号，

所以O点到l距离的最小值为2。

解：（1）由，

求得交点A（﹣2，0），B（3，5）

（2）因为y'=2x，则y'|x=﹣2=﹣4，y'|x=3=6，

所以抛物线在A，B处的切线方程分别为

y=﹣4（x+2）与 y﹣5=6（x﹣3）4x+y+8=0 与6x﹣y﹣13=0

解：（1）设S（x，y），根据题意，

|ST|2=|SC|2=22+|y|2，

即。

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）

所以

则PA：，即

设P（t，t-2），P在PA上

同理，P在PB上

故x1，x2是方程

的两根，

故恒过点（2，2）。

（3）证明：过点M所作垂线l1的方程为y-2=-（x-2）x+y-4=0，解出垂足N（3，1）

MN的斜率为-1，故倾斜角为

若AN，BN的斜率均存在，则设其分别为k1，k2，

对应的倾斜角分别为α，β，

要证MN是∠ANB的平分线，只要证∠ANM=∠BNM，

即，

即要证k1k2=1

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y= k（x-2）+2代入x2=4y，

得x2-4kx+8k-8=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=8k-8

y1+y2=k（x1-2）+2+k（x2-2）+2 =4k2-4k+4，②

将②，③代入①，得

当时，k1k2=1，当时，解得A，B两点的坐标分别为（-2，1），，

验证AN与BN的斜率一个不存在，一个为零，

即∠ANM=∠BNM，

即MN是∠ANB的平分线。

解：（Ⅰ）设抛物线Q1的方程为x2=2py（p＞0），

由过点（1，2）得4=2p，解得p=2，

∴Q1：x2=4y，

抛物线Q2与Q1关于x轴对称，故抛物线Q2的方程为x2=-4y；

（Ⅱ）由题意知AB的斜率必存在且过焦点，

设AB：y=kx+1，联立消y得x2-4kx-4=0，

根据韦达定理有：x1+x2=4k，x1x2=-4，

∵抛物线Q1的方程为，

∴，

∴，

，

∴，同理可得l2：，

∵N（m2，n2）在直线l1上，且，

∴，

，

∴

代入上式得，

两边同乘以，得，

而，故有，

即S（s，t）满足l2的方程，

故点S恰在直线l2上。

（Ⅰ）解：由已知，动点P到定点F的距离与动点P到直线的距离相等，

由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为y=x2．

（Ⅱ）证明：设，

由，得，

所以，

设，则，

因为MN⊥x轴，所以N点的横坐标为，

由y=x2，可得y′=2x，所以当x=时，y′=k，

所以曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行．

（Ⅲ）解：由已知，k≠0，设直线l的垂线为l′：，

代入y=x2，可得， （*）

若存在两点关于直线l对称，则，

又在l上，

所以，

由方程（*）有两个不等实根，

所以，即，

所以，解得或。

解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p

点A到准线l的距离，

∵△ABD的面积S△ABD=，

∴=，解得p=2，

∴圆F的方程为x2+（y-1）2=8。

（2）由题设，则，

∵A，B，F三点在同一直线m上，

又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称

由点A，B关于点F对称得：得：，

直线

切点

直线

坐标原点到m，n距离的比值为。

解：（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边          

点到准线的距离         

圆的方程为；

（2）由对称性设，则      

点关于点对称得：    

得：，

直线   

  切点    

直线

坐标原点到距离的比值为。

⑴∵抛物线的焦点    

∴设直线l方程为

由     消去y得

设

当k=0的等号成立  

∴S△AOB面积的最小值为

∴

∵∴p=4                      

⑵∵x2=8y∴  

∴过A点的切线方程为     即    

∴  

设，又∵∴

∵    ∴          

得∴M点在直线上                      

解：(1)设l的方程为：y=k(x-2)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去x得：，，y1y2=-8，

若∠AEQ=∠BEQ，则kAE+kBE=0，

即，

，

故存在m=-2，使得∠AEQ=∠BEQ。

(2)设P(x0，y0)在抛物线上，由抛物线的对称性，不妨设y0＞0，

则过P点的切线斜率，

切线方程为：，

令x=0，∴，

令x=2，

∴，

则以QN为直径的圆的圆心坐标为O′，半径，

∴

，

∴|MT|=，即切线长|MT|为定值。

解：①设l的方程为：y=k（x﹣2），

设A（x1，y1），B（x2，y2）

由消去

得：，，y1y2=﹣8

若∠AEQ=∠BEQ，则kAE+kBC=0

即：

y1x2+y2x1﹣m（y1+y2）=0

﹣2（y1+y2）﹣m（y1+y2）=0

m=﹣2

故存在m=﹣2，使得∠AEQ=∠BEQ

②设P（x0，y0）在抛物线上，

由抛物线的对称性，不妨设y0＞0，则过P点的切线斜率，

切线方程为：，且（9分）

令，

∴

令，

∴

则以QN为直径的圆的圆心坐标为，半径

∴

=

∴

解：（1），，，

代入式子可得

整理得。

（2）直线PA，PB的方程分别是y=-x-1，y=x-1，曲线C在Q处的切线l为

且与y轴的交点为F（0，）

分别联立方程组

解得D，E的横坐标分别是

则

故

而，则

故△QAB与△PDE的面积比为2。