热门试卷

解（1）∵=, x∈[0,3]      …………..  1分

当时，；当时，   

故值域为                                     ………………. 3分

（2），当，，单调递减，当，，单调递增．                                    ………………………….  5分

① ，t无解；                        ……………    6分

② ，即时，；     ……………….  7分

③，即时，在上单调递增，；……8分

所以．                      ……………….  9分

（3），所以问题等价于证明，由（2）可知

的最小值是，当且仅当时取到；………….. 11分                   

设，则，易得，当且仅当时

取到，从而对一切，都有成立．   …………….. 14分

略

（1）；（2）.

试题分析：（1）本小题考查导数在切线上的应用问题，根据所给的切点及切线所平行的直线方程，可得，从中求解关于的方程组即可；（2）将所给的代入得，通过求导，先求出函数的极值，写出极值点，然后根据三点共线，利用，即可计算出的值.

试题解析：（1）当时，

所以      2分

依题意可得,

即解得       5分

（2）当时，

所以       7分

令，解得，

当变化时，变化情况如下表：

所以当时，；当时，

不妨设       8分

因为三点共线，所以

即，解得

故所求值为       9分.

（I）由已知可得，.

（II）.

（III）时，的最大值是.

试题分析：（I）根据及导数的几何意义即得到的关系.

（II）将表示成，应用二次函数知识，当时，取到最大值，得到，从而得到.

（III）首先由函数 为偶函数，且当时，

得到当时，通过求导数并讨论时

时，时，的正负号，明确在区间是减函数，在是增函数，

肯定时，有最小值.

再根据为偶函数，得到时，也有最小值，

作出结论.

试题解析：（I）由已知可得

又因为.

（II），

所以当时，取到最大值，此时，

.

（III）因为，函数 为偶函数，且当时，

所以，当时，

此时，

当时，，当时，，

所以，在区间是减函数，在是增函数，

所以时，有最小值.

又因为为偶函数，故当时，也有最小值，

综上可知时，.

解：（Ⅰ）求函数f（x）的导数：，

曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为：，

即；

（Ⅱ）如果有一条切线过点（a，b），

则存在t，使，

于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程有三个相异的实数根，

记，则，

当t变化时，变化情况如下表：

由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值时，方程g（t）=0最多有一个实数根；

当a+b=0时，解方程g（t）=0得t=0，，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；

当b- f（a）=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；

综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条曲线，

即g（t）=0有三个相异的实数根，则，

即-a＜b＜f（a）。

解：（1）因为

所以

函数的图像在点处的切线方程；

（2）由（1）知

所以

对任意恒成立

即

对任意恒成立

令则

令，则

所以函数在上单调递增

因为

所以方程在上存在唯一实根，且满足

当

即

当

即

所以函数在上单调递减，在上单调递增

所以

所以

故整数k的最大值是3；

（3）由（2）知，是上的增函数

所以当时，

即

整理得

因为

所以

即

即

所以。

（1）；（2）见解析

试题分析：（1）将切点代入切线方程可得。由切线方程可知切线的斜率为1，根据导数的几何意义可得。解方程组即可求得的值。从而可得的解析式。（2）可将问题转化证，因为所以即证，分别去证和。再证这两个不等式时均采用构造函数求其最值的方法证明即可。用其他方法证明也可。

试题解析：（1），，∴由得 3分

把代入得，即，∴

∴.     5分

（2）『证法1』：

证明：由（1）∴证明即证

各项同除以，即证 8分

令，则，这样只需证明即

设,,

∵，∴，即在上是增函数

∴，即  10分

设，

∴在也是在增函数

，即

从而证明了成立，所以成立. 12分

『证法2』：

证明：等价于

即 8分

先证，

问题等价于，即

设，则

∴在上是增函数，

∵，∴，∴，

得证.    10分

再证，

问题等价于，即

设，则

∴在上是减函数，

∵，∴，∴，

得证.综上，.         12分

(1);(2)详见解析;(3）详见解析.

试题分析：（1）首先求出切线斜率即f’（x）利用点斜式即可求出答案；

（2）首先求出，判断在（1，+∞）是否大于零，判断g（x）在区间上的单调性，在求出的导数判断其在（1，+∞）是否大于零，即可得到在（1，+∞）上的单调性；

（3）对不等式两边取对数，化简得，设函数

将原问题转化为则在，求出H（x）的最小值大于0 即可.

（1）                          1分

                 2分

                                3分

（2）            4分

在上恒成立                  6分

在上单调递减                     

在上单调递增                            7分

（3）即            8分

设函数

则在

在上单调递增

                    11分

即在上恒成立  12分.

解：由f（x） = 可得，

而，即，解得；

（Ⅱ），

令可得，当时，；

当时，。

于是在区间内为增函数；在内为减函数。

（Ⅲ），

当时， ，

当时，要证。

只需证，然后构造函数即可证明。

解：(1)因为，所以f′(1)=1-a，

所以曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为1-a，

因为曲线y=f(x)在x=1处的切线为3x-y-3=0，

所以1-a=3，解得a=-2；

(2)①充分性，当a=1时，，

所以当x＞1时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(1，+∞)上是增函数；

当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，1)上是减函数，

所以f(x)≥f(1)=0；

②必要性：，其中x＞0，

(ⅰ)当a≤0时，因为f′(x)＞0恒成立，所以函数f(x)在(0，+∞)上是增函数；

而f(1)=0，所以当x∈(0，1)时，f(x)＜0，与f(x)≥0恒成立相矛盾，所以a≤0不满足题意；

(ⅱ)当a＞0时，因为当x＞a时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(a，+∞)上是增函数；

当0＜x＜a时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，a)上是减函数，

所以f(x)≥f(a)=a-1-alna，

因为f(1)=0，所以当a≠1时，f(a)＜f(1)=0，此时与f(x)≥0恒成立相矛盾，

所以a=1；

综上所述f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1；

 (3)由(2)可知，当a＜0时，函数f(x)在(0，1]上是增函数，

又函数在(0，1]上是减函数，

不妨设，

则，

所以等价于，

即，

设，

则等价于函数h(x)在区间(0，1]上是减函数，

因为，

所以在x∈(0，1]上恒成立，

即在x∈(0，1]上恒成立，即a不小于在区间(0，1]内的最大值，

而函数在区间(0，1]上是增函数，

所以的最大值为-3，

所以a≥-3，

又a＜0，所以a∈[-3，0)。

解：（1）

故直线l的斜率为1，切点为

即

∴ ①

又∵

∴，切点为

∴，即 ②

比较①和②的系数得

∴。

（2）由，即

设

令，解得

由函数y1在R上各区间上的增减及极值情况，可得

①当时有两个解；

②当时有3个解；

③当时有4个解；

④当k=ln2时有2个解；

⑤当时无解。

解：（1）∵，

∴．

∴．

（2）∵Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，

∴设Cn的方程为．

把Dn（0，n2+1）代入上式，得a=1，

∴Cn的方程为y=x2+（2n+3）x+n2+1．

∵kn=y'|x=0=2n+3，

∴，

∴==．

（3）T={y|y=﹣（12n+5），n∈N*}={y|y=﹣2（6n+1）﹣3，n∈N*}，

∴S∩T=T，T中最大数a1=﹣17．

设{an}公差为d，则a10=﹣17+9d∈（﹣265，﹣125．）

由此得．

又∵an∈T．∴d=﹣12m（m∈N*）

∴d=﹣24，

∴an=7﹣24n（n∈N*，n≥2）．

解：（1）因为f′（x）=3x2+2x

所以曲线y=f （x）在（xn+1，f （xn-1））处的切线斜率kn+1=3xn+12+2xn+1

因为过（0，0）和（xn，f （xn））两点的直线斜率是xn2+xn

所以xn2+xn= 3xn+12+2xn+1。

（2）因为函数h（x）=x2+x 当x>0时单调递增，

而xn2+xn=3xa+12+2xn+1 ≤4xn+12+2xn+1

所以，即

因此

又因为

令yn=xn2+xn则

因为y1=x21+x1=2

所以

因此

故。

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，；当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，.

试题分析：（Ⅰ）先求导，由导数的几何意义可得在点的导数即为在此点处切线的斜率。从而可得的值。（Ⅱ）先求导整理可得，当时，，解导数大于0可得增区间；当时，导数等于0的两根为或，注意对两根大小的讨论，同样解导数大于0可得增区间。

试题解析：（Ⅰ） = ()，()，

因为曲线在点处的切线与直线平行，

，解得.

（Ⅱ）因为

（1）当时，.令解得

（2）时

令，解得或.

（ⅰ）当即时，

由，及得 .

解得，或；

（ⅱ）当即时，

因为，恒成立.

（ⅲ）当即时，由，及得 .

解得，或.

综上所述，

当时，函数的递增区间是；

当时，函数的递增区间是，；

当时，函数的递增区间是；

当时，函数的递增区间是，.

解：（1）在等式

两边对x求导得

移项得

   （*）；

（2）（i）在（*）式中，令x=-1

整理得

；

（ii）由（1）知

两边对x求导，得

在上式中令x =-1，得

即

亦即

又由（i）知

由①+②得；

（iii）将等式

两边在[0，1]上对x积分

由微积分基本定理，得

所以。