热门试卷

（1）见解析（2）见解析（3）小于

由已知数列满足．

（1）得，故，假设时，，，，，则当时，，由数学归纳知对一切的正整数都成立．

（2）

，故，是递减数列．

（3）由（2）得，

故 ，

所以

．

解：火箭的运动方程为，

在t附近的平均变化率为

，

令h'（t）=0，即100-gt=0，

解得，

故火箭熄火后约10.2s速度变为零。

解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1=kx1，①

y1=-x12+x1-4，②

①代入②得x12+(k-)x1+4=0，

∵P为切点，

∴Δ=(k-)2-16=0得k=或k=，

当k=时，x1=-2，y1=-17；

当k=时，x1=2，y1=1；

∵P在第一象限，

∴所求的斜率k=；

(2)过P点作切线的垂线，其方程为y=-2x+5，③

将③代入抛物线方程得x2-x+9=0，

设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2=9，

∴x2=，y2=-4，

∴Q点的坐标为(，-4)。

解：当函数在无极值时，

所以

则当函数在有极值时， ·······················12分

略

（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅰ），由题意知，不等式在上有解，2分

不等式等价变形为，，记，则．      4分

设，则，则有，易知单调递增，故，所以，故，又因为即实数的取值范围的是．   6分

（Ⅱ）令，即，∵，∴方程的两个根为（舍去），，      8分

因为，则，且当时，；时，，故函数可能在或处取得最小值，∵，，故当，即时，函数最小值为；当

，函数最小值为.        11分

综上所述：当时，函数最小值为；

当时，函数最小值为．      12分

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义和利用导数求函数的最值，意在考查运用数形结合思想的能力和运算求解能力．

（I）   （II）

第一问，∵y=f(x)的图像过原点，∴

由得，∴a = 1，∴

∴，，

∵，所以，数列的通项公式为。  …………6分

第二问中，由

∴

解：（1）求增量△y=f（2+△x）-f（2）

=（2+△x）2+ 2（2+△x）-（22+2×2）

=（△x）2+6△x，

（2）求平均变化率：，

（3）取极限（△x+6）=6

∴f′（2）=6或。

（1）g(x)＝x2－lnx（2）

(1)g′(x)＝2bx＋ 由条件，得即∴b＝，c＝－1，

∴g(x)＝x2－lnx.

(2)G(x)＝ 

当x＞0时，G(x)＝g(x)＝x2－lnx，g′(x)＝x－＝.

令g′(x)＝0，得x＝1，且当x∈(0，1)，g′(x)＜0，x∈(1，＋∞)，g′(x)＞0，

∴g(x)在(0，＋∞)上有极小值，即最小值为g(1)＝.

当x≤0时，G(x)＝f(x)＝ax3－3ax，f′(x)＝3ax2－3a＝3a(x＋1)(x－1)．

令f′(x)＝0，得x＝－1.①若a＝0，方程G(x)＝a2不可能有四个解；

②若a＜0时，当x∈(－∞，－1)，f′(x)＜0，当x∈(－1，0)，f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，0]上有极小值，即最小值为f(－1)＝2a.又f(0)＝0，∴G(x)的图象如图①所示，从图象可以看出方程G(x)＝a2不可能有四个解；

,①)　　,②)

③若a＞0时，当x∈(－∞，－1)，f′(x)＞0，当x∈(－1，0)，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0]上有极大值，即最大值为f(－1)＝2a.又f(0)＝0，∴G(x)的图象如图②所示．从图象可以看出方程G(x)＝a2若有四个解，必须＜a2＜2a，∴＜a＜2.综上所述，满足条件的实数a的取值范围是

解：令解之得： …4分

在上递增，在上递减，

所以最大值为

最小值是0。………10分

略

（I）0或2

（II）8

（III）

（I）

的极值点，

解得或2.                                                                              …………4分

（II）是切点，

即

的斜率为-1

代入解得

的两个极值点.

在[-2，4]上的最大值为8.                                            …………10分

（III）因为函数在区间（-1，1）不单调，

所以函数在（-1，1）上存在零点.

而的两根为a-1，a+1，区间长为2，

∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点.

所以

即：

又             …………13分

证明见答案

任取，

这就是说，如果函数在点处可导，那么在点处连续，由的任意性知，

如果函数在内可导，那么在内连续．

解：（1）∵P（2，4）在曲线 上，且y'=x2∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y'|x=2=4；

∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y﹣4=4（x﹣2），即4x﹣y﹣4=0．

（2）设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点A（x0，），

则切线的斜率 ，

∴切线方程为y﹣（ ）=x02（x﹣x0），即

∵点P（2，4）在切线上，

∴4=2x02﹣，即x03﹣3x02+4=0，

∴x03+x02﹣4x02+4=0，

∴（x0+1）（x0﹣2）2=0

解得x0=﹣1或x0=2

故所求的切线方程为4x﹣y﹣4=0或x﹣y+2=0．