导数的几何意义
共3561题

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导数的几何意义
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题型：填空题

填空题

若函数f（x）在x0处的切线的斜率为k，则极限==______．

正确答案

∵函数f（x）在x0处的切线的斜率为k，∴k===-，

故=-k，

故答案为-k．

题型：简答题

简答题

（12分）设函数，曲线在点处的切线方程为

（I）求

（II）证明：

正确答案

（I）；（II）详见解析.

试题分析：（I）由切点在切线上，代入得①．由导数的几何意义得②，联立①②求；（II）证明成立，可转化为求函数的最小值，只要最小值大于1即可．该题不易求函数的最小值，故可考虑将不等式结构变形为，分别求函数和的最值，发现在的最小值为，在的最大值为．且不同时取最值，故成立，即注意该种方法有局限性只是不等式的充分不必要条件，意即当成立，最值之间不一定有上述关系．

试题解析：（I）函数的定义域为．．

由题意可得，．故．

（II）由（I）知，，从而等价于，设函数，则．所以当时，；当时，．故在递减，在递增，从而在的最小值为．设，则．所以当时，；当时，．故在递增，在递减，从而在的最大值为．综上，当时，，即．

【考点定位】1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数的单调性；3、利用导数求函数的最值．

题型：填空题

填空题

曲线在点处的切线方程为 .

正确答案

，，当时，，因此曲线在点处的切线方程为，即.

题型：填空题

填空题

设曲线y=x4+ax+b在x=1处的切线方程是y=x，则a=______，b=______．

正确答案

∴y=x4+ax+b，

∴y′=4x3+a，

∴曲线y=x4+ax+b在x=1处的切线斜率

k=4+a，

∴4+a=1．a=-3，

又切点坐标为（1，1）代入曲线方程得：

b=3，

故答案为：-3；3．

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=ax3-3x2+1-．

（I）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）若曲线y=f（x）上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）由题设知a≠0，f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-)．

令f′(x)=0得x1=0，x2=．

当（i）a＞0时，

若x∈（-∞，0），则f'（x）＞0，

所以f（x）在区间(-∞，)上是增函数；

若x∈(0，)，则f'（x）＜0，

所以f（x）在区间(0，)上是减函数；

若x∈(，+∞)，则f'（x）＞0，

所以f（x）在区间(，+∞)上是增函数；

（ii）当a＜0时，

若x∈(-∞，)，则f'（x）＜0，

所以f（x）在区间(-∞，)上是减函数；

若x∈(0，)，则f'（x）＜0，

所以f（x）在区间(0，)上是减函数；

若x∈(，0)，则f'（x）＞0，

所以f（x）在区间(，0)上是增函数；

若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，

所以f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，

且函数y=f（x）在x=0，x=处分别是取得极值f(0)=1-，f()=--+1．

因为线段AB与x轴有公共点，所以f(0)•f()≤0．

即(--+1)(1-)≤0．

所以≤0．

故（a+1）（a-3）（a-4）≤0，且a≠0．

解得-1≤a＜0或3≤a≤4．

即所求实数a的取值范围是[-1，0）∪[3，4]．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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