- 导数的几何意义
- 共3561题
以下正确命题的序号为__________
①命题“存在的否定是:不存在
”;
②函数的零点在区间
内;
③若函数f(x)满足f(1)=1且f(x+1)=2f(x),则f(1)+f(2)+…+f(10)=1023;
④函数切线斜率的最大值是2.
正确答案
②③
(本小题满分12分)
设函数
(I)若函数处的切线为直线
相切,求a的值;
(II)当时,求函数
的单调区间。
正确答案
解:(I)依题意有, ………………2分
即 ………………4分
又已知圆的圆心为,半径为1,
依题意,
解得 ………………6分
(II)依题意知 …………8分
又知
因为 ………………10分
所以在是增函数
在是减函数 …………12分
略
(12分)如图,从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t,问:x取何值时,长方体的容积V有最大值?
正确答案
当x=时,V取最大值
长方体的体积V=4x(x-a)2,(o<x<a),由≤ t 得 0<x≤
而V′=12(x-)(x-a)
∴V在(0,)增,在(
,a)递减………………………………………………6分
∴若≥
即 t≥
,当x=
时,V取最大值
a3
若<
即 0<t<
,当x=
时,V取最大值
………12分
(本小题满分12分)
设函数有两个极值点
,且
(I)求的取值范围,并讨论
的单调性;
(II)证明:
正确答案
:(Ⅰ)因为,设
,
依题意知得
,所以
的取值范围是
由得
,由
得
,
所以函数的单调递增区间为和
,单调递减区间
,
其中,且
.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,设
,
所以在
递减,又
在
处连续,所以
,
即.
:(Ⅰ)首先求出函数的导数,因为原函数有两个极值点,所以导函数有两个不同解,因为真数
,所以两个根都要在定义域内,这样就转化为了一元二次方程根分布问题,求出
的取值范围.
利用求得函数的的单调递增区间,利用
求出单间区间.一定注意单调区间在定义域内.
(II)因为不确定,
就不确定,它是参数
函数,要使
恒成立,只需
的最小值大于
即可.把恒成立问题转化为求函数的最值来解决,求函数的最值还是用导数.
若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .
正确答案
因y′=2ax-,所以切线斜率为2a-1,又因切线与x轴平行,所以2a-1=0,即a=
.
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