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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数f(x)=ex﹣ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为﹣1。

(1)求a的值及函数f(x)的极值;

(2)证明:当x>0时,x2<ex

(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex

正确答案

见解析。

解析

(1)由f(x)=ex﹣ax得f′(x)=ex﹣a。

又f′(0)=1﹣a=﹣1,∴a=2,

∴f(x)=ex﹣2x,f′(x)=ex﹣2。

由f′(x)=0得x=ln2,

当x<ln2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当x>ln2时,f′(x)>0,f(x)单调递增;

∴当x=ln2时,f(x)有极小值为f(ln2)=eln2﹣2ln2=2﹣ln4。

f(x)无极大值。

(2)令g(x)=ex﹣x2,则g′(x)=ex﹣2x,

由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln2)=eln2﹣2ln2=2﹣ln4>0,即g′(x)>0,

∴当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<ex

(3)对任意给定的正数c,总存在x0=>0.当x∈(x0,+∞)时,

由(2)得ex>x2x,即x<cex

∴对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex

知识点

由其它方法求数列的通项公式
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

             。

正确答案

解析

知识点

由其它方法求数列的通项公式
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

随机抽取9个同学中,至少有2个同学在同一月出生的概率是           (默认每月天数相同,结果精确到)。

正确答案

解析

知识点

由其它方法求数列的通项公式
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(  )

A∀x∈R,|x|+x2<0

B∀x∈R,|x|+x2≤0

C∃x∈R,|x|+x2<0

D∃x∈R,|x|+x2≥0

正确答案

C

解析

根据全称命题的否定是特称命题,则命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R,|x0|+x02<0

知识点

由其它方法求数列的通项公式
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

+log3+log3= _________ 。

正确答案

解析

+log3+log3

=

=

知识点

由其它方法求数列的通项公式
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