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证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC．

∵AB⊥BC，AB∩PA=A，

∴BC⊥平面PAB．

（2）∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．∵PB⊥AE，BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC．

（3）∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC，∵AF⊥PC，AE∩AF=A，∴PC⊥平面AEF．

而EF⊂面AEF，∴PC⊥EF．

解：（1）过点M作MN∥C1D，交D1D于N，连接A1N，

则∠A1MN或其补角就是异面直线A1M和C1D1所成角

在Rt△A1NM中，AB=1，A1N==

∴tan∠A1MN==

由此可得，当时，异面直线A1M和C1D1所成角的正切值为；

（2）∵A1B1⊥平面BB1C1C，BM⊆平面BB1C1C，

∴A1B1⊥BM，

因此可得：只要B1M⊥BM，就有BM⊥平面A1B1M．

假设存在M点，使得BM⊥平面A1B1M，设C1M=x

则矩形BB1C1C中，B1M⊥BM，所以∠MB1C1=∠MBB1

∴Rt△B1MB∽Rt△MB1C1，所以=

∴B1M2=B1B•C1M，可得4+x2=5x，解之得x=1或4

∴当C1M的长为1或4时，存在点M使得BM⊥平面A1B1M．

（Ⅰ）证明：∵C是以为AB直径圆上一点，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC．

又SA⊥平面ABC，BC在平面ABC内，∴SA⊥BC．

又SA∩AC=A，∴BC⊥平面SAC，

又AD在平面SAC上，∴BC⊥AD．

又SC⊥AD，SC∩BC=C，∴AD⊥平面SBC．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知△ABC、△SAB均为Rt△，且∠SAB=∠ACB=90°．

取SB中点M，连接AM、CM，则．

所以SB为三棱锥S-ABC外接球直径；

又

所以AB2=AC2+BC2=27，SB2=SA2+AB2=36．

三棱锥S-ABC外接球半径为．

故三棱锥S-ABC外接球体积．

（1）因为E、F分别为A1B1、B1C1的中点，所以EF∥A1C1，

因为底面A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1，所以EF⊥B1D1．

因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，所以DD1⊥平面A1B1C1D1，

又因为EF⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥EF．

又B1D1∩DD1=D1，B1D1Ì平面B1BDD1，

DD1⊂平面B1BDD1，所以EF⊥平面B1BDD1．

（2）延长FE交D1A1的延长线于点H，连接DH，

因为E、F分别为A1B1、B1C1的中点，

所以△EFB1≌△EHA1，所以HE=EF，

在△FDH中，因为G、E分别为DF、HF的中点，

所以GE∥DH．

又GE∉平面AA1D1D，DH⊆平面AA1D1D，

故EG∥平面AA1D1D．因为过A1、E、G三点平面交DD1于M，

所以面A1MGE∩面AA1D1D=MA1，EG⊆面A1MGE，所以EG∥MA1．