热门试卷

解：（1）取PD中点为G，连接GC、GF∵，∴四边形CEFG为平行四边形，

故，

（2）取AD中点为H，连接PH，BH△PAD中，PA=PD，H为AD中点⇒PH⊥AD，

正△ABD中，H为AD中点⇒BH⊥AD，

故AD⊥面PBH⇒AD⊥PB．

（3），且PH=3，

所以．

（Ⅰ）证明：过F作FH⊥BC于H，连接DH，将直角梯形BCDE补成正方形BCGE，…（2分）

连接BG

∵侧面ABC⊥底面BCDE，平面ABC∩底面BCDE=BC

∴FH⊥底面BCDE

∴FH⊥BC

∵F为AC的中点，

∴H为BC的四等分点，…（4分）

∵，∴DH∥BG

∴DH⊥EC

∵FH∩DH=H

∴EC⊥平面FHD

∴FD⊥CE…（6分）

（Ⅱ）解：由题意可知△ABC的高为h=…（8分）

∴AB=AC=2

∴VA-BCE===

在△AEC中，AE=EC=2，AC=2，S△AEC=

∵VB-ACE=

∴h′=

∴点B到平面ACE的距离为…（12分）

解：（1）设BP=t，则

CQ=，DQ=2-．

∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2-，2，0），

∴=（，-2，2），=（-2，2-t，2）．

∵B1Q⊥D1P等价于•=0，

即-2-2（2-t）+2×2=0，

整理得=t，解得t=1．

此时，P、Q分别是棱BC、CD的中点，即P、Q分别是棱BC、CD的中点时，

B1Q⊥D1P；

（2）当B1Q⊥D1P时，由（1）知P、Q分别是棱BC、CD的中点．

在正方形ABCD中，PQ∥BD，且AC⊥BD，故AC⊥PQ．

设AC与PQ的交点为E，连接C1E．

∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，CE是C1E在底面ABCD内的射影，∴C1E⊥PQ，

即∠C1EC是二面角C1-PQ-C的平面角，∠C1EA是二面角C1-PQ-A的平面角．

在正方形ABCD中，CE=，

在Rt△C1EC中，tan∠C1EC==2，

∴∠C1EC=arctan2，

∠C1EA=π-arctan2．

∴二面角C1-PQ-A的大小是π-arctan2．