热门试卷

证明：（1）先证明BD1⊥AC．

∵=++，=+，

∴•=（++）•（+）

=•+•=•-•=||2-||2=1-1=0．

∴BD1⊥AC．同理可证BD1⊥AB1，

于是BD1⊥平面ACB1．

（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则==，即2=．

对于空间任意一点O，设=b，=m，=b1，=d1，

则上述等式可改写成2（m-b）=d1-b1或b1+2m=d1+2b．记==e．

此即表明，由e向量所对应的点E分线段B1M及D1B各成λ（λ=2）之比，

所以点E既在线段B1M（B1M⊂面ACB1）上又在线段D1B上，

所以点E是D1B与平面ACB1之交点，此交点E将D1B分成2与1之比，

即D1E：EB=2：1．∴BE=ED1．

解：（Ⅰ）∵∠ABC为直角，即AB⊥BC，

又PA⊥BC，

∴BC⊥平面PAB，

∵AD⊂平面PAB

∴AD⊥BC

∵PA=AB，点D为BC的中点

∴AD⊥PB

又∵PB∩BC=B，∴AD⊥平面PBC．

（Ⅱ）如图，连结DC，交PE于点G，

∵点D，E分别为PB，BC的中点，

∴G为△PBC的重心，∴

又，∴AD∥FG，

又AD⊄平面PEF，FG⊂平面PEF，

∴AD∥平面PEF．

解：（Ⅰ）在图1中，可得，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC

取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，

面ADC∩面ABC=AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，（4分）

∴OD⊥BC

又AC⊥BC，AC∩OD=O，

∴BC⊥平面ACD（6分）

另解：在图1中，可得，

从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC

∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC⊂面ABC，从而BC⊥平面ACD

（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，

则，，

，

（8分）

设为面CDM的法向量，

则即，解得

令x=-1，可得

又为面ACD的一个法向量

∴

∴二面角A-CD-M的余弦值为．（12分）

解：（1）如图

过P作PM⊥AD于M，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PM⊂平面PAD，

∴PM⊥面ABCD； 

又PA=PD=5，AD=8

∴M为AD的中点，且PM==3，

∵菱形ABCD中，，AD=8，

∴VP-ABCD=×8×8×sin×3=×64××3=32，

∴四棱锥P-ABCD的体积为；

（2）证明：连接BM，BD；

∵BD=BA=8，AM=DM，，∴AD⊥BM，

又AD⊥PM，且BM∩PM=M，

∴AD⊥平面PMB，

∵PB⊂平面PMB，

∴AD⊥PB；

（3）能找到，并且点F为棱PC的中点，

证法一：∵F为PC的中点，点E为BC的中点，∴EF∥PB；

又由（2）可知AD⊥PB，∴AD⊥EF，

由AD⊥BM，BM∥DE，∴AD⊥DE；

又AD⊥EF，且DE∩EF=E，∴AD⊥面DEF；

又AD⊂面ABCD，∴面DEF⊥面ABCD；

证法二：设CM∩DE=O，连FO，∴O为MC的中点；

在△PMC中，FO∥PM，

∵PM⊥面ABCD，∴FO⊥面ABCD，

又FO⊂面DEF，∴面DEF⊥面ABCD．