热门试卷

解：（1）证明：因为四边形BCFE是菱形，所以BF⊥EC

又BF⊥AE，

所以BF⊥平面AEC

所以BF⊥AO

因为AE=AB=AC，OE=OC，

AO⊥EC

所以所以AO⊥平面BCFE

（2）因为AO⊥平面BCFE，所以AO⊥OE，AO⊥OB

又因为AE=AB，

所以0E=OB，

所以EC=BF，

又由已知四边形BCFE是菱形

所以四边形BCFE为正方形．

解：法一：（I）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB．

∴∠BAC是A1B1与AC所成的角．（2分）

在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°．（3分）

∴A1B1与AC所成角为45°．（4分）

（II）取AC中点E，连接DE，BE，∵D是A1C的中点，则DE∥AA1．

∵AA1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC．

则BE是BD在平面ABC内的射影．（6分）

∵AB=BC，∴BE⊥AC．∴BD⊥AC．（7分）

同理可证BD⊥B1C．（8分）

又AC∩B1C=C，∴BD⊥平面AB1C．（9分）

（III）取AB1中点F，连接CF，BF，（10分）

AB=BB1，∴BF⊥AB1∵，∴CF⊥AB1．

则∠BFC为二面角C-AB1-B的平面角．（12分）

在Rt△BFC中，，

则．（13分）

∴∠BFC=．（14分）

即二面角C-AB1-B的大小为．

法二：（I）同法一．

（II）建立空间直角坐标系B-xyz，如图，

则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（0，0，1），A1（1，0，1），D（．（6分）

则，．∴．（8分）

∴BD⊥AC，BD⊥AB1，且AC∩AB1=A．∴BD⊥平面AB1C．（9分）

（III）∵BC⊥BB1，BC⊥AB，AB∩BB1=B，∴BC⊥平面ABB1．

∴是平面ABB1的法向量．（11分）

由（II）可知是平面AB1C的法向量．

．（13分）

即二面角C-AB1-B的大小为．（14分）

（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，

∴∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，

∴∠CDB=30°，

∴∠ADB=90°，AD⊥BD，

又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，

∴BD⊥平面AED；

解：（2）设点B到平面FDC的距离为h，

则VF-CDB=VB-FDC，∴

∵，

∴h=．

（Ⅰ）证明：由三视图可知，三棱柱的底面为边长为a的等腰直角三角形，侧面ACC1A1，底面BCC1B1是边长为a的正方形，且面ACC1A1⊥底面BCC1B1

设A1B1中点Q，连接MN，MQ，NQ

由题意可得NQ∥A1C1，MQ∥CC1

∴NQ∥平面ACC1A1；MQ∥平面ACC1A1

∵MQ∩NQ=Q，

∴平面MNQ∥平面ACC1A1；

（Ⅱ）取AC的中点G，连接MG，NG，则MG∥BC

∵BC⊥面ACC1A1，

∴MG⊥ACC1A1，MG⊥A1C

∵NC=NA1

∴NG⊥A1C，且NG∩MG=G

∴A1C⊥平面MNG

∴MN⊥A1C

连接NB，NA1，则可得NB=NA1==

∵M为A1B的中点

∴MN⊥A1B

∵A1C∩A1B=A1

∴MN⊥平面A1BC；

（Ⅲ）解：∵S△BNC==

∵平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，A1C1⊥CC1

∴A1C1⊥平面BCC1B1

∴A1C1即是点A1到平面BNC的距离

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