热门试卷

解：（1）作DH⊥EF，垂足H，连结BH、GH，

∵平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，DH⊂平面EBCF，

∴DH⊥平面EBCF，结合EG⊂平面EBCF，得EG⊥DH，

∵，EF∥BC，∠ABC=90°．

∴四边形BGHE为正方形，得EG⊥BH．

又∵BH、DH⊂平面DBH，且BH∩DH=H，∴EG⊥平面DBH．

∵BD⊂平面DBH，∴EG⊥BD．

（2）∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE⊂平面AEFD．

∴AE⊥面EBCF．结合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，

∴四边形AEHD是矩形，得DH=AE，

故以F、B、C、D为顶点的三棱锥D-BCF的高DH=AE=x，

又∵．

∴三棱锥D-BCF的体积为V=f（x）==

==．

∴当x=2时，f（x）有最大值为．

（3）由（2）知当f（x）取得最大值时AE=2，故BE=2，

结合DH∥AE，可得∠BDH是异面直线AE与BD所成的角．

在Rt△BEH中，，

∵DH⊥平面EBCF，BH⊂平面EBCF，∴DH⊥BH

在Rt△BDH中，，

∴．

∴异面直线AE与BD所成的角的余弦值为．

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，

∴AD⊥CC1．                   …（2分）

又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，

∴AD⊥平面BCC1B1．            …（5分）

（Ⅱ）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．…（7分）

当=1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1．…（8分）

事实上，正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BC C1B1是矩形，且D、E分别是BC，BC1B1的中点，

所以BB1∥DE且BB1=DE．…（10分）

又BB1∥AA1，且BB1=AA1，

∴AA1∥DE，且AA1=DE．     …（12分）

所以四边形AA1DE为平行四边形，所以A1E∥AD．

而A1E在平面ADC1外，故A1E∥平面ADC1． …（14分）

（Ⅰ）证明：在矩形ABEF中，BE=1，AB=2，点M为线段EF的中点，∴BM⊥AM，

∵BM⊥AD，BM⊥AM，AM∩AD=A，

∴BM⊥平面ADM，

∵DM⊂平面ADM，

∴BM⊥DM；

（Ⅱ）解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD，

∵AB⊥AD，BM⊥AD，AB∩BM=B，

∴AD⊥平面ABM，

∴AD⊥AM，

设点F到平面DAM的距离为h，则，

∴h=．

（1）证明：∵AO⊥平面COB，CO⊂平面COB，∴AO⊥CO

∵OB=OC=1，，∴CO⊥BO

∵AO∩BO=O

∴CO⊥平面ABO；

（2）解：F为BC的中点，在CO上任取一点G，均有AG∥平面DEF

∵D、E分别为AB、BO的中点，∴DE∥AO

∵DE⊄平面AOC，AO⊂平面AOC

∴DE∥平面AOC

同理EF∥平面AOC

∵DE∩EF=E

∴平面DEF∥平面AOC

∵AG⊂平面AOC

∴AG∥平面DEF