热门试卷

（1）证明：∵直角梯形ABCD，AB∥CD，BC⊥AB，侧面SAB为正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2，

∴BD=2，AD=2． 

∴在△DSA和△DSB中，有SA2+SD2=42+22=AD2，SB2+SD2=42+22=BD2．

∴SD⊥SA，SD⊥SB

∵SA∩SB=S．

∴SD⊥平面SAB；

（2）解：∵SD⊥平面SAB，△SAB是正三角形，

∴=4．结合几何体，可知VB-SAD=VD-SAB．

于是，VB-SAD=VD-SAB=．

解：（Ⅰ）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥

（注：评分注意实线、虚线；垂直关系；长度比例等）PD⊥AD，PD⊥CD，

∴PD⊥平面ABCD，则VP-ABCD=×6×6×6=72

（Ⅱ）取PC中点E，连接DE，NE

△PBC中，PN=NB，

∴NE∥BC，且NE=BC，

在正方形ABCD中，MD∥BC，且MD=BC，

∴NE∥MD，且NE=MD

∴四边形MNED为平行四边形

∴MN∥DE

在RT△PDC中，PD=DC

∴DE⊥PC

又∵PD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD

∴PD⊥BC

又∵BC⊥DC

∴BC⊥面PDC

又∵DE⊂面PDC

∴BC⊥DE

∴DE⊥面PBC

∵MN∥DE

∴MN⊥面PBC

解：（Ⅰ）取PC中点为F，连接EF，BF

又E为PD的中点，所以EF∥DC且EF=DC

所以EF∥AB，且EF=AB，所以ABFE为平行四边形（2分）

所以AE∥BF，因为AE⊄面PBC，所以AE∥面PBC（4分）

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），

B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），

P（0，0，3），E（0，，）（5分）

从而=（2，1，0），=（1，0，-3）

设与的夹角为θ，则

cosθ==-，（7分）

∴AC与PB所成角的余弦值为（8分）

（Ⅲ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于G，连PG，

设N为PG的中点，连NE，则NE∥DG，（10分）

∵DG⊥AC，DG⊥PA，∴DG⊥面PAC从而NE⊥面PAC（14分）

（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面PAD，

∴PH⊥AB，

∵PH为△PAD中AD边上的高，

∴PH⊥AD，

又∵AB∩AD=A，

∴PH⊥平面ABCD．

（Ⅱ）解：如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，

∵E是PB的中点，

∴EG∥PH，

∵PH⊥平面ABCD，

∴EG⊥平面ABCD，

则EG=PH=，

∴VE-BCF=S△BCF•EG=••FC•AD•EG=．