- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
如图（1），三棱锥P′-A′BC′中，P′A′⊥平面A′BC′，△A′BC′是正三角形，E是P′C′的中点：如图（2），三棱锥P-ACD中，PA⊥平面ACD，∠ACD=90°，∠DAC=30°，若△P′A′C′≌△PAC，现将两个三棱锥拼接成四棱锥P-ABCD，使得面P′A′C′与面PAC完全重合，在四棱锥P-ABCD中，解答以下问题：
（I）求证：CD⊥AE；
（Ⅱ）当PA=AC=
正确答案
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD
∵AC⊥CD，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC，
∵E是PC的中点，∴CD⊥AE
（II）解：∵E是PC的中点，
∴点E到平面ABCD的距离等于点P到平面ABCD的距离的一半
∴VE-ABCD=
∴SABCD=
∴VE-ABCD=
解析
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD
∵AC⊥CD，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC，
∵E是PC的中点，∴CD⊥AE
（II）解：∵E是PC的中点，
∴点E到平面ABCD的距离等于点P到平面ABCD的距离的一半
∴VE-ABCD=
∴SABCD=
∴VE-ABCD=
（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面APD；
（2）求证：AD⊥PB．
正确答案
证明：（1）连接BD，由已知∠DAB=60°且四边形ABCD是菱形∴△ABD是正三角形，又G为AD边的中点
∴BG⊥AD，BG⊂平面ABCD又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD=AD，∴BG⊥平面APD
（2）连接PG，由侧面PAD为正三角形，G为AD边的中点∴AD⊥PG
由（1）可知BG⊥AD，PG，BG⊂平面PBG，PG∩BG=G∴AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG∴AD⊥PB．
解析
证明：（1）连接BD，由已知∠DAB=60°且四边形ABCD是菱形∴△ABD是正三角形，又G为AD边的中点
∴BG⊥AD，BG⊂平面ABCD又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD=AD，∴BG⊥平面APD
（2）连接PG，由侧面PAD为正三角形，G为AD边的中点∴AD⊥PG
由（1）可知BG⊥AD，PG，BG⊂平面PBG，PG∩BG=G∴AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG∴AD⊥PB．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面PAC；
（Ⅲ）求四面体A-MBC的体积．
正确答案
∵点O，M分别是PD，BD的中点
∴MO∥PB，
∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM
∴PB∥平面ACM．…（4分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC…（7分）
在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN∥BD
∴MN⊥平面PAC．…（9分）
（III）∵
∴
解析
∵点O，M分别是PD，BD的中点
∴MO∥PB，
∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM
∴PB∥平面ACM．…（4分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC…（7分）
在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN∥BD
∴MN⊥平面PAC．…（9分）
（III）∵
∴
扫码查看完整答案与解析