热门试卷

（1）∵Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2=5，S5=35，

∴，解得d=2，a1=3；

∴{an}的通项公式an=3+2（n-1）=2n+1（n∈N*）；

又{bn}是等比数列，且b1+b3=10，b4=9b2＞0；

∴，解得q=3，b1=1；

∴{bn}的通项公式bn=1×3n-1=3n-1（n∈N*）．

（2）∵Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn

=3×1+5×31+7×32+9×33+…+（2n-1）×3n-2+（2n+1）×3n-1①，

∴3Tn=3×3+5×32+7×33+9×34+…+（2n-1）×3n-1+（2n+1）×3n②；

①-②得：-2Tn=3+2（31+32+33+…+3n-1）-（2n+1）×3n=3+2×-（2n+1）×3n=-2n•3n，

∴Tn=n•3n．

（本小题满分13分）

（I）解：由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．

当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8．

当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18．

所以a1=3，a2=8，a3=18为所求．…（3分）

（Ⅱ）证明：因为2an=Sn+2n+1，所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立．

两式相减得：2an+1-2an=an+1+2．

所以an+1=2an+2（n∈N*），即an+1+2=2（an+2）．…（5分）

所以数列{an+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（7分）

（Ⅲ）解：由（Ⅱ） 得：an+2=5×2n-1，即an=5×2n-1-2（n∈N*）．

则nan=5n•2n-1-2n（n∈N*）．…（8分）

设数列{5n•2n-1}的前n项和为Pn，

则Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n-1）•2n-2+5×n•2n-1，

所以2Pn=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n-1）•2n-1+5n•2n，

所以-Pn=5（1+21+22+…+2n-1）-5n•2n，

即Pn=（5n-5）•2n+5（n∈N*）．…（11分）

所以数列{n•an}的前n项和Tn=，

整理得，Tn=（5n-5）•2n-n2-n+5（n∈N*）．…（13分）

解：（1）由题意6b3=8b1+b5，则6q2=8+q4，解得q2=4或2，

由于q为正整数，则q=2，

又b1=2，∴bn=2n；

（2）由数列{an}为等差数列，数列{an}满足2n2-（λ+an）n+an=0（λ∈R，n∈N*）；

分别代入n=1，2，3，又a1+a3=2a2，得2λ-4+12-2λ=2（16-4λ），

得λ=3，而当λ=3时，an=2n，

由an+1-an=2（常数）知此时数列{an}为等差数列，

故λ=3．

（3）由（1），（2），知bn=2n，ak=2k，

由题意知，c1=b1=2，c2=c3=2，c4=b2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=b3=8，…，

则当m=1时，T1≠2c2，不合题意，当m=2时，T2=2c3，适合题意．

当m≥3时，若cm+1=2，则Tm≠2cm+1一定不适合题意，

从而cm+1必是数列{bn}中的某一项bk+1，

则Tm=b1+2+2+b2+2+2+2+2+b3+2+…+2+b4+2+…+b5+2+…+b6+…+bk-1+2+…+bk，

=（2+22+23+…+2k）+2（2+4+…+2k）

=2×（2k-1）+k（2+2k）=2k+1+2k2+2k-2，

又2cm+1=2bk+1=2×2k+1，

∴2k+1+2k2+2k-2=2×2k+1，即2k-k2-k+1=0，∴2k+1=k2+k，

∵2k+1为奇数，k2+k=k（k+1）为偶数，∴上式无解．

即当m≥3时，Tm≠2cm+1，

综上知，满足题意的正整数只有m=2．