数列前n项和_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}满足首项为a1=2，an+1=2an（n∈N*）．设bn=3log2an-2（n∈N*），数列{cn}满足cn=anbn．

（Ⅰ）求证：数列{bn}成等差数列；

（Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Sn．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵an+1=2an，且a1=2≠0，

∴数列{an}为等比数列，则，

∴bn=3log2an-2=3=3n-2．

∵bn+1-bn=3（n+1）-2-3n+2=3，

∴{bn}为以3为公差的等差数列；

（Ⅱ）解：∵，

∴ ①

②

①-②得：

==-10+（5-3n）•2n+1，

∴．

解析

（Ⅰ）证明：∵an+1=2an，且a1=2≠0，

∴数列{an}为等比数列，则，

∴bn=3log2an-2=3=3n-2．

∵bn+1-bn=3（n+1）-2-3n+2=3，

∴{bn}为以3为公差的等差数列；

（Ⅱ）解：∵，

∴ ①

②

①-②得：

==-10+（5-3n）•2n+1，

∴．

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题型：简答题

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简答题

已知等差数列{an2}满足首项a12=1，且公差d=1，an＞0，n∈N+．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）记bn=，求数列{bn}的前项和Tn，并求lg（Tn+1）的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）∵等差数列{an2}满足首项a12=1，且公差d=1，

∴an2=a12+（n-1）d=n，

∵an＞0，

∴an=，

即数列{an}的通项公式an=；

（Ⅱ）bn===-；

则数列{bn}的前项和Tn=-=-1；

则lg（Tn+1）=lg（-1+1）=lg，

则lg（Tn+1）的取值范围为{m|m=lg，n∈N•}

解析

解：（Ⅰ）∵等差数列{an2}满足首项a12=1，且公差d=1，

∴an2=a12+（n-1）d=n，

∵an＞0，

∴an=，

即数列{an}的通项公式an=；

（Ⅱ）bn===-；

则数列{bn}的前项和Tn=-=-1；

则lg（Tn+1）=lg（-1+1）=lg，

则lg（Tn+1）的取值范围为{m|m=lg，n∈N•}

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}满足a1=2，an=，其前n项和为Tn，则T2014=______．

正确答案

解析

∵an=，

∴an+1=，

∵a1=2，∴a2=-3，a3=-，a4=，a5=2，…，

∴数列{an}是周期为4的周期数列，且，

∵2014=4×503+2，

∴T2014=-=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，满足Sn=2n+1-2，数列bn=log2an．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设数列cn=，求数列{cn}的前项和 Tn．

正确答案

解：（Ⅰ）当n≥2时，则an=Sn-Sn-1=2n+1-2-2n+2=2n，

当n=1时，a1=S1=22-2=4-2=2，满足an=2n，

故数列{an}的通项公式为an=2n；

则bn=log2an=log22n=n．

（Ⅱ）cn==，

则数列{cn}的前项和 Tn=1-=1-=．

解析

解：（Ⅰ）当n≥2时，则an=Sn-Sn-1=2n+1-2-2n+2=2n，

当n=1时，a1=S1=22-2=4-2=2，满足an=2n，

故数列{an}的通项公式为an=2n；

则bn=log2an=log22n=n．

（Ⅱ）cn==，

则数列{cn}的前项和 Tn=1-=1-=．

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=log4|an|，求数列{}前n项和Tn．

正确答案

（Ⅰ）解：当n=1时，a1=5S1+1，解得．…（2分）

又∵an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1，

∴an+1-an=5an+1，…（4分）

∴，∴数列{an}是首项为，公比为q=-的等比数列，

∴．…（6分）

（Ⅱ）解：，…（8分）

∴==（），…（10分）

∴

=

=．…（12分）

解析

（Ⅰ）解：当n=1时，a1=5S1+1，解得．…（2分）

又∵an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1，

∴an+1-an=5an+1，…（4分）

∴，∴数列{an}是首项为，公比为q=-的等比数列，

∴．…（6分）

（Ⅱ）解：，…（8分）

∴==（），…（10分）

∴

=

=．…（12分）

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题型：填空题

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填空题

设数列{an}的前n项和为Sn，则下列命题中正确的是______．（填写所有正确命题的编号）

（1）Sn=an2+bn（a，b∈R），则{an}为等差数列；（2）若Sn=1+（-1）n+1，则{an}是等比数列；（3）{an}为等比数列，且Sn=2012，则an=0．

正确答案

（1），（2），（3）

解析

解：对于（1），a1=S1=a+b，

n＞1时，an=Sn-Sn-1=an2+bn-（a（n-1）2+b（n-1））=2an+b-2a，

对n=1也成立，则{an}为首项为a+b，公差为2a的等差数列；

对于（2），a1=S1=2，

n＞1时，an=Sn-Sn-1=1+（-1）n+1-（1+（-1）n））=-2•（-1）n，

对n=1也成立，则{an}为首项为2，公比为-1的等比数列；

对于（3），由题意可得q不为1，由Sn=2012，即为=2012，

可得0＜|q|＜1，=2012，

则an=则a1qn-1=2012（1-q）•qn-1=0成立．

故答案为：（1），（2），（3）．

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题型：单选题

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单选题

已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a1=1，S5=25，则数列的前10项和等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=1，S5=25，

∴5×1+=25，解得d=2．

∴an=1+2（n-1）=2n-1．

∴==．

∴数列的前10项和=+…+==．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

若2014=2+2+…+2，其中a1，a2，an为两两不等的非负整数，设x=sinSn，y=cosSn，z=tanSn（其中Sn=），则x、y、z的大小关系是（　　）

Az＜y＜x

Bx＜z＜y

Cx＜y＜z

Dy＜z＜x

正确答案

A

解析

解：∵2014=2a1+2a2+…+2an，且a1，a2，…，an为两两不等的非负整数，

∴2014=210+29+28+27+26+24+23+22+21，

Sn===16，

x=sinSn=sin（16）=，y=cosSn=cos（16）=-，z=tanSn=tan（16）=-，

∴z＜y＜x．

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

数列{an}满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）

（Ⅰ）设Cn=log5（an+3），求证{Cn}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）设，数列{bn}的前n项的和为Tn，求证：．

正确答案

解：（Ⅰ）由an+1=an2+6an+6得an+1+3=（an+3）2，

∴=2，即cn+1=2cn

∴{cn}是以2为公比的等比数列．

（Ⅱ）又c1=log55=1，

∴cn=2n-1，即=2n-1，

∴an+3=

故an=-3

（Ⅲ）∵bn=-=-，∴Tn=-=--．

又0＜=．

∴-≤Tn＜-

解析

解：（Ⅰ）由an+1=an2+6an+6得an+1+3=（an+3）2，

∴=2，即cn+1=2cn

∴{cn}是以2为公比的等比数列．

（Ⅱ）又c1=log55=1，

∴cn=2n-1，即=2n-1，

∴an+3=

故an=-3

（Ⅲ）∵bn=-=-，∴Tn=-=--．

又0＜=．

∴-≤Tn＜-

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，则a2013=______．

正确答案

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解析

解：数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，

令m=1，n=2012，

则S2012+S1=S2013，

∴S2013-S2012=S1=a1=1，

又a2013=S2013-S2012，

∴a2013=1．

故答案为：1．

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