数列前n项和_章节学习

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题型：填空题

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填空题

计算Sn=1×+2×+3×+…+n•=______．

正确答案

2-

解析

解：∵Sn=1×+2×+3×+…+n•，

∴=++…+（n-1）×+，

=+…+-，

化为Sn=1++…+-=-=2-，

故答案为：2-．

1

题型：简答题

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简答题

已知数列{an} 的前n项和为Sn，且Sn=n2．数列{bn}为等比数列，且b1=1，b4=8．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{cn}满足cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．

正确答案

（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，

∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1．

当n=1时，a1=S1=1满足上式，故an=2n-1

又数列{bn}为等比数列，设公比为q，

∵b1=1，b4=b1q3=8，∴q=2．

∴bn=2n-1

（Ⅱ）=2n-1．

Tn=c1+c2+…+cn=（2-1）+（22-1）+…+（2n-1）

=（2+22+…+2n）-n=2n+1-2-n

解析

（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，

∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1．

当n=1时，a1=S1=1满足上式，故an=2n-1

又数列{bn}为等比数列，设公比为q，

∵b1=1，b4=b1q3=8，∴q=2．

∴bn=2n-1

（Ⅱ）=2n-1．

Tn=c1+c2+…+cn=（2-1）+（22-1）+…+（2n-1）

=（2+22+…+2n）-n=2n+1-2-n

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=，若对于正数kn（n∈N*），直线y=knx与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，则数列{kn2}的前n项和为______．

正确答案

解析

解：函数y=f（x）的图象是一系列半径为1的半圆，

∵直线y=knx与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，

∴直线y=knx与第n+1个半圆相切，∴，，

∴．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•成都校级期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=tanα，（0＜α＜，α≠），an+1=（n∈N*）关于下列命题：

①若α=，则a3=0；

②对任意满足条件的角α，均有an+3=an（n∈N*）

③存在α0∈（0，）∪（，），使得S3n=0

④当＜α＜时，S3n＜0

其中正确的命题有（　　）

A1 个

B2 个

C3 个

D4 个

正确答案

D

解析

解：①∵a1==，∴a2==-，∴a3==0，因此正确；

②对任意的a1（a1≠），an+2===，an+3==an，∴an+3=an，正确；

③由②的周期性可知：只要证明存在α0∈（0，）∪（，），使得S3=0即可．a2=，a3=．S3=a1+a2+a3=tanα++=，取，可得S3=0，因此正确．

④当＜α＜时，．由②的周期性可知：只要证明S3＜0即可，a2=，a3=．S3=a1+a2+a3=＜0，因此正确．

综上可得：①②③④都正确．

故选：D．

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题型：简答题

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简答题

已知等比数列{an}的前三项的和为，前三项的积为．

（Ⅰ）求等比数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a2，a3，a1成等差数列，设bn=（2n+1）an，求数列{bn}的前n项的和Tn．

正确答案

解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，则前三项为；

依题意，前三项的积为，可得，

由于，解得q=-2或，

所以等比数列的通项公式为：或．

（Ⅱ）若，则不成等差数列，不合条件，舍去．

若，则成等差数列，满足条件，

故，

，

Tn=3×（）1+5×（）2+7×（）3+…+（2n+1）×（）n，

将上两式相减得：==

所以．

解析

解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，则前三项为；

依题意，前三项的积为，可得，

由于，解得q=-2或，

所以等比数列的通项公式为：或．

（Ⅱ）若，则不成等差数列，不合条件，舍去．

若，则成等差数列，满足条件，

故，

，

Tn=3×（）1+5×（）2+7×（）3+…+（2n+1）×（）n，

将上两式相减得：==

所以．

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题型：单选题

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单选题

阅读右面的程序框图，则输出的n的值为（　　）

A98

B99

C100

D101

正确答案

B

解析

解：根据判断框中的条件可知该循环体执行n+1次

故计算S=0++…+=1 ++…+=

由＜0.99⇒n＞98．

则输出的n的值为99

故选B．

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题型：单选题

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单选题

如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点Bn的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2+a3+…+a10=（　　）

A208

B216

C212

D220

正确答案

B

解析

解：∵点Bn的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），顶点Cn，Dn在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，

∴Cn（n，n+）；

依题意知，Dn（，n+）；

∴|AnBn|=n-（n≥2，n∈N+），

∴an=2（n-）+2（n+）=4n．

∴an+1-an=4，又a1=4，

∴数列{an}是首项为4，公差为4的等差数列，

∴a2+a3+…+a10

=

=216．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

在公差不为零的等差数列{an}中，a2=3，a1，a3，a7成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，记bn=．求数列{bn}的前n项和Tn．

正确答案

解：（1）设{an}的公差为d，依题意得，…（3分）

解得 a1=2，d=1…（5分）

∴an=2+（n-1）×1即 an=n+1．…（6分）

（2）．

…（9分）

故 Tn=．…（12分）

解析

解：（1）设{an}的公差为d，依题意得，…（3分）

解得 a1=2，d=1…（5分）

∴an=2+（n-1）×1即 an=n+1．…（6分）

（2）．

…（9分）

故 Tn=．…（12分）

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题型：填空题

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填空题

在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2等于an+an+1除以3的余数，则{an}的前89项的和等于______．

正确答案

100

解析

解：∵a1=1，a2=2，an+2等于an+an+1除以3的余数，a1+a2=1+2=3=3×1，∴a3=0．

∴a2+a3=2+0=2=3×0+2，∴a4=2；

∴a3+a4=0+2=2=3×0+2，∴a5=2；

∴a4+a5=2+2=4=3×1+1，∴a6=1；

∴a5+a6=2+1=3=3×1+0，∴a7=0；

∴a6+a7=1=3×0+1，∴a8=1；

∴a7+a8=0+1=1=3×0+1，∴a9=1；

∴a8+a9=1+1=2=3×0+2，∴a10=2；

…，

可以看出：从a9开始周期性的出现1，2，0，2，2，1，0，1，…．

故S89=S8×11+a89=（1+2+0+2+2+1+0+1）×11+a1=100．

故答案为100．

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题型：单选题

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单选题

数列的前n项和为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由数列可知数列的通项公式an==，

∴数列的前n项和S=2（）=2（）=，

故选：C．

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