数列前n项和_章节学习

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题型：简答题

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简答题

观察下列三角形数表

假设第n行的第二个数为an（n≥2，n∈N*）．

（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；

（Ⅱ）归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式；

（Ⅲ）设anbn=1，求证：b2+b3+…+bn＜2．

正确答案

解：（I）第六行的所有6个数字分别是

6，16，25，25，16，6；（2分）

（II）依题意an+1=an+n（n≥2），

a2=2an=a2+（a3-a2）+（a4-a3）++（an-an-1）

=，

所以；

（III）因为anbn=1，所以（12分）=．（15分）

解析

解：（I）第六行的所有6个数字分别是

6，16，25，25，16，6；（2分）

（II）依题意an+1=an+n（n≥2），

a2=2an=a2+（a3-a2）+（a4-a3）++（an-an-1）

=，

所以；

（III）因为anbn=1，所以（12分）=．（15分）

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•淄博校级期末）设数列{an}满足a1+++…+=1-，则an=（　　）

A1-

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵a1+++…+=1-，

∴当n=1时，a1=1-=．

当n≥2时，a1+++…+=1-，

∴=1--=，

∴an=．

当n=1时也成立，

∴an=．

故选：D．

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题型：简答题

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简答题

设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式

（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．

正确答案

解：（1）设a1=a，由题意可得，

解得，或，

当时，an=2n-1，bn=2n-1；

当时，an=（2n+79），bn=9•；

（2）当d＞1时，由（1）知an=2n-1，bn=2n-1，

∴cn==，

∴Tn=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n-1）•，

∴Tn=1•+3•+5•+7•+…+（2n-3）•+（2n-1）•，

∴Tn=2+++++…+-（2n-1）•=3-，

∴Tn=6-．

解析

解：（1）设a1=a，由题意可得，

解得，或，

当时，an=2n-1，bn=2n-1；

当时，an=（2n+79），bn=9•；

（2）当d＞1时，由（1）知an=2n-1，bn=2n-1，

∴cn==，

∴Tn=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n-1）•，

∴Tn=1•+3•+5•+7•+…+（2n-3）•+（2n-1）•，

∴Tn=2+++++…+-（2n-1）•=3-，

∴Tn=6-．

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题型：单选题

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单选题

如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n项之和为Sn，则S21的值为（　　）

A66

B153

C295

D361

正确答案

D

解析

解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到你的这个数列的通项公式a（n）．

n为偶数时，a（n）=（n+4）/2，

n为奇数时，1=c20=C22，3=C31=C32，6=C42，10=C53=C52，…

a（n）=C（n+3）/22=（n+3）（n+1）/8．

然后求前21项和，偶数项和为75，

奇数项和为[（22+42+62+…+222）+2（2+4+6…+22）]/8

=[（22×4×23）+11×24]/8=286，

最后S（21）=361

故选D．

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题型：填空题

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填空题

如图，程序框图所进行的求和运算是______．

正确答案

解析

解：由n=2知循环变量的初值为2

由n＜21得循环变量的终值为20

由n=n+2得循环变量步长为2

又由S=S+，

则S=，

故答案为．

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题型：单选题

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单选题

设数列{an}的前n项和为Sn，令，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a502的“理想数”为2012，那么数列3，a1，a2，…，a502的“理想数”为（　　）

A2011

B2012

C2013

D2014

正确答案

A

解析

解：∵=2012，

∴S1+S2+…+S502=2012×52，

又数列3，a1，a2，…，a502的“理想数”为：

=

=3+

=2011．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

已知数列{an}的前n项和Sn=n2，则a5等于（　　）

A25

B16

C11

D9

正确答案

D

解析

解：∵Sn=n2，

∴a5=S5-S4=25-16=9．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

对于任意实数x，[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．这个函数[x]叫做“取整函数”，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2 013]=______．

正确答案

4932

解析

解：[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2013]

=[lg1]+…+[lg9]+[lg10]+…+[lg99]+[lg100]+…+[lg999]+[lg1000]+…+[lg2013]

=0+1×90+2×900+3×1014=4932．

故答案为：4932．

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题型：填空题

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填空题

将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中x=r+1，令，则=______．

正确答案

解析

解：第一个空通过观察可得．

=

=（1+-1）+（）+（+-）+（+-）+…+（+-）+（+-）

=（1+++…+）+（++++…+）-2（++…+）

=〔（1+++…+）-（++…+）〕+〔（++++…+）

-（++…+）〕

=1-+-

=+-

所以=．

答案：．

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题型：简答题

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简答题

设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn且；

（Ⅰ）写出数列{an}的前三项；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式，并写出推证过程；

（Ⅲ）令，求数列{bn}的前n项和Tn．

正确答案

解：（Ⅰ）∵

n=1时可得，∴a1=2

把n=2代入可得a2=6，n=3代入可得a3=10；

（Ⅱ）8Sn=an2+4an+4…（1）

8Sn+1=an+12+4an+1+4…（2）

（2）-（1）得8an+1=an+12-an2+4an+1-4an

（an+1+an）（an+1-an-4）=0

∵an+1+an＞0

∴an+1-an-4=0

an+1-an=4

∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．an=a1+（n-1）d=4n-2

（ III）

∴Tn=b1+b2+…+bn

=

=．

解析

解：（Ⅰ）∵

n=1时可得，∴a1=2

把n=2代入可得a2=6，n=3代入可得a3=10；

（Ⅱ）8Sn=an2+4an+4…（1）

8Sn+1=an+12+4an+1+4…（2）

（2）-（1）得8an+1=an+12-an2+4an+1-4an

（an+1+an）（an+1-an-4）=0

∵an+1+an＞0

∴an+1-an-4=0

an+1-an=4

∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．an=a1+（n-1）d=4n-2

（ III）

∴Tn=b1+b2+…+bn

=

=．

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