- 数列前n项和
- 共2492题
已知数列{bn}的通项公式是bn=n，则
正确答案
解析
解：由bn=n得
所以
=
=
故答案为：
设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N+）
（1）若bn=an+1-2an，求bn；
（2）若
（3）若
正确答案
解（1）∵a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N+），
∴Sn+2=4an+1+2an+2=Sn+2-Sn+1=4（an+1-an），
∴an+2-2an+1=2（an+1-2an）
即bn+1=2bn
∴{bn}是公比为2的等比数列，且b1=a2-2a1
∵a1=1，a2+a1=S2
即a2+a1=4a1+2，
∴a2=3a1+2=5，
∴b1=5-2=3，
∴
（2）∵
∴
∴{cn}是首项为
∴T6=
（3）∵
∴
即
∴{dn}是等差数列．
解析
解（1）∵a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N+），
∴Sn+2=4an+1+2an+2=Sn+2-Sn+1=4（an+1-an），
∴an+2-2an+1=2（an+1-2an）
即bn+1=2bn
∴{bn}是公比为2的等比数列，且b1=a2-2a1
∵a1=1，a2+a1=S2
即a2+a1=4a1+2，
∴a2=3a1+2=5，
∴b1=5-2=3，
∴
（2）∵
∴
∴{cn}是首项为
∴T6=
（3）∵
∴
即
∴{dn}是等差数列．
已知数列{
正确答案
解析
解：∵
∴其前n项和=2（1-
故答案为：
设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=1，an=-Sn•Sn-1（n≥2），则Sn=（ ）
An2
B
Cn
D
正确答案
解析
解：∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1，又an=-Sn•Sn-1（n≥2），
∴Sn-Sn-1=-Sn•Sn-1（n≥2），
∴
∴{
∴
∴Sn=
故选D．
已知数列{an}是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列{bn-2an}是公比为3等比数列，且b2-2a2=9．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn．
正确答案
解：（Ⅰ）由a2=3，a5=6得
则an=2+n-1=n+1．
∵数列{bn-2an}是公比为3等比数列，且b2-2a2=9．
∴b1-2a1=b1-4=3，解得b1=7，
则bn-2an=3•3n-1=3n，
则bn=2an+3n=2（n+1）+3n；
（Ⅱ）∵bn=2an+3n=2（n+1）+3n；
∴数列{bn}的前n项和Sn=[2×2+2×3+…+2（n+1）]+（3+32+33+…+3n]=
解析
解：（Ⅰ）由a2=3，a5=6得
则an=2+n-1=n+1．
∵数列{bn-2an}是公比为3等比数列，且b2-2a2=9．
∴b1-2a1=b1-4=3，解得b1=7，
则bn-2an=3•3n-1=3n，
则bn=2an+3n=2（n+1）+3n；
（Ⅱ）∵bn=2an+3n=2（n+1）+3n；
∴数列{bn}的前n项和Sn=[2×2+2×3+…+2（n+1）]+（3+32+33+…+3n]=
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列
正确答案
解析
解：（Ⅰ）∵数列{an}是等差数列，且a6+a8=-10
∴a7=-5，又a2=0，
∴d=
∴an=a2+（n-2）d=2-n．
（Ⅱ）令bn=
∴Sn=b1+b2+…+bn
=1+0-
∴
①-②得：
=-
=-2+
∴Sn=
在数列{an}中，a1=2，an+1-2an=0（n∈N*），bn是an和an+1的等差中项，设Sn为数列{bn}的前n项和，则S6=______．
正确答案
189
解析
解：∵an+1-2an=0
∴
∴数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列
∴an=2×2n-1=2n
∵bn是an和an+1的等差中项，
∴bn=
∴s6=b1+b2+…+b6=3（1+21+22+…+25）=3×
答案为：189
已知数列{an}的通项公式为
A.
B
C
D
正确答案
解析
解：∵an=
∴S8=a1+a2+…+a8
=1-
=1-
=
故选：C．
已知等比数列{an}的公比为q，首项为a1，其前n项的和为Sn．数列{an2}的前n项的和为An，数列{（-1）n+1an}的前n项的和为Bn．
（1）若A2=5，B2=-1，求{an}的通项公式；
（2）①当n为奇数时，比较BnSn与An的大小；
②当n为偶数时，若|q|≠1，问是否存在常数λ（与n无关），使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
正确答案
解：（1）∵A2=5，B2=-1，
∴
∴
∴
（2）∵
∴数列{an2}，{（-1）n+1an}均为等比数列，
首项分别为a12，a1，公比分别为q2，-q．（6分）
①当n为奇数时，当q=1时，Sn=na1，An=na12，Bn=a1，
∴BnSn=na12=An．当q=-1时，Sn=a1，An=na12，Bn=na1，
∴BnSn=na12=An．（8分）
当q≠±1时，设n=2k-1（k∈N*），
∴B2k-1S2k-1=A2k-1．综上所述，当n为奇数时，BnSn=An．（10分）
②当n为偶数时，存在常数
使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立．（11分）
∵|q|≠1，∴
∴（Bn-λ）Sn+An=
=
=
=
由题设，
又
∴存在常数
解析
解：（1）∵A2=5，B2=-1，
∴
∴
∴
（2）∵
∴数列{an2}，{（-1）n+1an}均为等比数列，
首项分别为a12，a1，公比分别为q2，-q．（6分）
①当n为奇数时，当q=1时，Sn=na1，An=na12，Bn=a1，
∴BnSn=na12=An．当q=-1时，Sn=a1，An=na12，Bn=na1，
∴BnSn=na12=An．（8分）
当q≠±1时，设n=2k-1（k∈N*），
∴B2k-1S2k-1=A2k-1．综上所述，当n为奇数时，BnSn=An．（10分）
②当n为偶数时，存在常数
使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立．（11分）
∵|q|≠1，∴
∴（Bn-λ）Sn+An=
=
=
=
由题设，
又
∴存在常数
已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，
（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m-1）a1；
（2）若b3=ai（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项；
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：设{an}的公差为d，由a1=b1，a2=b2≠a1，知d≠0，q≠1，d=a1（q-1）（a1≠0）
（1）因为bk=am，所以a1qk-1=a1+（m-1）a1（q-1），qk-1=1+（m-1）（q-1）=2-m+（m-1）q，
所以
（2）b3=a1q2，ai=a1+（i-1）a1（q-1），由b3=ai，
所以q2=1+（i-1）（q-1），q2-（i-1）q+（i-2）=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1（n∈N+），设数列{an}中的某一项am（m∈N+）=a1+（m-1）a1（q-1）
现在只要证明存在正整数m，使得bn=am，即在方程a1qn-1=a1+（m-1）a1（q-1）中m有正整数解即可，m-1=
（3）设数列{bn}中有三项bm，bn，bp（m＜n＜p，m，n，p∈N+）成等差数列，则有
2a1qn-1=a1qm-1+a1qp-1，设n-m=x，p-n=y，（x，y∈N+），所以2=
解析
解：设{an}的公差为d，由a1=b1，a2=b2≠a1，知d≠0，q≠1，d=a1（q-1）（a1≠0）
（1）因为bk=am，所以a1qk-1=a1+（m-1）a1（q-1），qk-1=1+（m-1）（q-1）=2-m+（m-1）q，
所以
（2）b3=a1q2，ai=a1+（i-1）a1（q-1），由b3=ai，
所以q2=1+（i-1）（q-1），q2-（i-1）q+（i-2）=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1（n∈N+），设数列{an}中的某一项am（m∈N+）=a1+（m-1）a1（q-1）
现在只要证明存在正整数m，使得bn=am，即在方程a1qn-1=a1+（m-1）a1（q-1）中m有正整数解即可，m-1=
（3）设数列{bn}中有三项bm，bn，bp（m＜n＜p，m，n，p∈N+）成等差数列，则有
2a1qn-1=a1qm-1+a1qp-1，设n-m=x，p-n=y，（x，y∈N+），所以2=
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