- 数列前n项和
- 共2492题
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1（n∈N*），
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=
正确答案
解：（1）∵Sn=n2+2n+1，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n+1-[（n-1）2+2（n-1）+1]=2n+1，
当n=1时，a1═S1=1+2+1=4，
数列{an}的通项公式an=
（2）令bn=
当n≥2时，求bn=
则数列bn的前n项和Tn=
解析
解：（1）∵Sn=n2+2n+1，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n+1-[（n-1）2+2（n-1）+1]=2n+1，
当n=1时，a1═S1=1+2+1=4，
数列{an}的通项公式an=
（2）令bn=
当n≥2时，求bn=
则数列bn的前n项和Tn=
设数列{an}是一等差数列，数列{bn}的前n项和为
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn．
正确答案
解：（1）∵
又
∵an为一等差数列，∴公差
即an=-2+（n-2）•2=2n-6．（6分）
（2）∵
①-②得
∴数列bn是一等比数列，公比q=-2，b1=-2，即bn=（-2）n．
∴
解析
解：（1）∵
又
∵an为一等差数列，∴公差
即an=-2+（n-2）•2=2n-6．（6分）
（2）∵
①-②得
∴数列bn是一等比数列，公比q=-2，b1=-2，即bn=（-2）n．
∴
正确答案
解析
解：数列的通项an=
∴
=
故答案为：
在数列{an}中，a2+1是a1与a3的等差中项，设
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{an}的前n项的和为Sn，若数列{bn}满足bn=anlog2（sn+2），试求数列{bn}的前n项的和Tn．
正确答案
解：（1）因为
所以an+1=2an，数列{an}是等比数列，公比为2，
又a2+1是a1与a3的等差中项，
2（a2+1）=a1+a3，即2（2a1+1）=5a1，
解得a1=2，
数列{an}的通项公式an=2•2n-1=2n；
（2）数列{an}的前n项的和为Sn=
数列{bn}满足bn=anlog2（sn+2）=2nlog2（2n+1-2+2）=2n•（n+1），
Tn=2×21+3×22+4×23+…+（n+1）•2n…①，
①×2得2Tn=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）•2n+1…②，
①-②得，-Tn=2×21+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1
=2-（n+1）•2n+1+
=2-（n+1）•2n+1+2n+1-2
=-n•2n+1，
数列{bn}的前n项的和Tn=n•2n+1．
解析
解：（1）因为
所以an+1=2an，数列{an}是等比数列，公比为2，
又a2+1是a1与a3的等差中项，
2（a2+1）=a1+a3，即2（2a1+1）=5a1，
解得a1=2，
数列{an}的通项公式an=2•2n-1=2n；
（2）数列{an}的前n项的和为Sn=
数列{bn}满足bn=anlog2（sn+2）=2nlog2（2n+1-2+2）=2n•（n+1），
Tn=2×21+3×22+4×23+…+（n+1）•2n…①，
①×2得2Tn=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）•2n+1…②，
①-②得，-Tn=2×21+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1
=2-（n+1）•2n+1+
=2-（n+1）•2n+1+2n+1-2
=-n•2n+1，
数列{bn}的前n项的和Tn=n•2n+1．
已知数列{an}中a1=1，a2=2，数列{an}的前n项和为Sn，当整数n＞1时，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1）都成立，则数列{
正确答案
解析
解：由于a1=1，a2=2，当整数n＞1时，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1）都成立，
所以S1=a1=1，S2=3，S3=7，故a3=4，
由于数列{an}中数列{an}的前n项和为Sn，当整数n＞1时，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1）都成立，
则Sn+2+Sn=2（Sn+1+S1）所以an+2+an=2an+1，则数列{an}从第二项起为等差数列，
则数列an=
故数列{
故答案为
已知{an}为等比数列，a1=1，a5=256；Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1=2，5S5=2S8．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设Tn=a1b1+a2b2+…anbn，求Tn．
正确答案
解：（1）设{an}的公比为q，由a5=a1q4得q=±4，所以an=（±4）n-1．
设{bn}的公差为d，由5S5=2S8得5（5b1+10d）=2（8b1+28d），
所以bn=b1+（n-1）d=3n-1．
（2）Tn=1•2+4•5+42•8++4n-1（3n-1），①
4Tn=4•2+42•5+43•8++4n（3n-1），②
②-①得：3Tn=-2-3（4+42++4n-1）+4n（3n-1）
=-2+4（1-4n-1）+4n（3n-1）
=2+（3n-2）•4n
∴Tn=（n-
解析
解：（1）设{an}的公比为q，由a5=a1q4得q=±4，所以an=（±4）n-1．
设{bn}的公差为d，由5S5=2S8得5（5b1+10d）=2（8b1+28d），
所以bn=b1+（n-1）d=3n-1．
（2）Tn=1•2+4•5+42•8++4n-1（3n-1），①
4Tn=4•2+42•5+43•8++4n（3n-1），②
②-①得：3Tn=-2-3（4+42++4n-1）+4n（3n-1）
=-2+4（1-4n-1）+4n（3n-1）
=2+（3n-2）•4n
∴Tn=（n-
正确答案
-1080
解析
解：由题意可知数阵中行数5！=120，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数字之和都是5!÷5×（1+2+3+4+5）=360，
∴b1+b2+…+b120=360×（-1+2-3+4-5）=360×（-3）=-1080．
故答案为-1080
如果有穷数列a1，a2，…，an（n∈N*），满足条件：a1=an，a2=an-1，…，an=a1，即ai=an-i+1（i=1，2，…，n），我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，4，3，2，1就是“对称数列”．已知数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m-1依次为该数列中前连续的m项，则数列bn的前2008项和S2008可以是：①22008-1；②2（22008-1）；③3•2m-1-22m-2009-1；④2m+1-22m-2008-1．
其中命题正确的个数为（ ）
正确答案
解析
解：因为数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m-1依次为该数列中前连续的m项，
故数列bn的前2008项可以是：①1，2，22，23…，21003，21003，…，22，1．
所以前2008项和S2008=2×
对于 ③1，2，22…2m-1，2m-1，2m-2，…，2，1，
1，2，…2m-2，2m-1，2m-1，2m-2，…，2，1…m=2n．m=8，利用等比数列的求和公式可以得：s2008=3•2m-1-22m-2009-1，所以③正确；
对于④1，2，22，…2m-2，2m-1，2m-2，…，2，1，1，2，…2m-2，2m-1，2m-2，…，2，1…m-1=2n+1，利用等比数列的求和公式可得：
S2008=2m+1-22m-2008-1，故④正确．
故选：B
数列{an}满足a1=1，
正确答案
解析
解：由题意知，a2=a1+1=2，a3=a2+1=3，
所以数列{an}为周期为3的数列，1，2，3，1，2，3，…，
则S20=6×（1+2+3）+（1+2）=39，
故选C．
在数列{an}中，
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由等差数列的前n项和公式及列项求和的知识可得
∴S2012=2（
故选C．
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