- 数列前n项和
- 共2492题
若{an} 是各项均不为零的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=
（Ⅰ）求an和Tn；
（Ⅱ）是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得T1、Tm、Tn 成等比数列？若存在，求出所有m、n的值； 若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）∵an2=S2n-1，
∴令n=1，2得a1=1，d=2，
则an=2n-1，bn=
则Tn=
（Ⅱ）假设存在正整数m、n（1＜m＜n），使得T1、Tm、Tn 成等比数列，
则Tm2=T1Tn，
即（
得
即2m2-4m-1＜0，解得1-
∵m是正整数且m＞1，
∴m=2，此时n=12当且仅当m=2，n=12时，T1、Tm、Tn成等比数列．
解析
解：（Ⅰ）∵an2=S2n-1，
∴令n=1，2得a1=1，d=2，
则an=2n-1，bn=
则Tn=
（Ⅱ）假设存在正整数m、n（1＜m＜n），使得T1、Tm、Tn 成等比数列，
则Tm2=T1Tn，
即（
得
即2m2-4m-1＜0，解得1-
∵m是正整数且m＞1，
∴m=2，此时n=12当且仅当m=2，n=12时，T1、Tm、Tn成等比数列．
某会议室设座位若干排，从第二排起每一排比前一排多2个位，已知第5排有40座位，最后一排就有100个座位，则此会议室共有座位（ ）个．
正确答案
解析
解：设每排的座位数构成数列{an}，其前n项和为Sn，
∵从第二排起每一排比前一排多2个位，
∴数列{an}是以d=2为公差的等差数列，
又a5=40，an=100，
∴d=
∴a1=a5-4d=40-8=32，
∴Sn=
故选：A．
如图，n+1个上底、两腰皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2的面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形PnMnNnNn+1的面积为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn=______．
正确答案
解析
解：如图所示，
已知梯形
∴四边形BCFE为矩形，EF=BC=1．
Rt△ACF≌Rt△N1BE．
∴AF=N1E=
∠ACB=∠CBN1=120°．
又P1Q1∥AN1，∴△P1Q1M1∽△AN1M1，
∴
∴S△P1Q1M1=
∴
∴S1=
同理可得
S2=
…，
由于
同理可得
可得Sn=
（文科做）已知{an}的前n项和Sn=n2-n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|等于（ ）
正确答案
解析
解：根据数列前n项和的性质，得n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2-n+1）-[（n-1）2-（n-1）+1]=2n-2，
当n=1时，S1=a1=1，
故
据通项公式得|a1|+|a2|++|a10|=a1+a2+（a3+a4+…+a10）=S10=91．
故选A．
等差数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=
（1）求an与bn；
（2）证明：
正确答案
（1）解：由已知等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=
∴q+3+a2=12，q=
∴q=3或q=-4（舍去），∴a2=6
∴an=3+（n-1）3=3n，bn=3n-1；
（2）证明：∵Sn=
∴
∵n≥1，∴0＜
∴
∴
解析
（1）解：由已知等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=
∴q+3+a2=12，q=
∴q=3或q=-4（舍去），∴a2=6
∴an=3+（n-1）3=3n，bn=3n-1；
（2）证明：∵Sn=
∴
∵n≥1，∴0＜
∴
∴
已知数列{an}满足an+（-1）n+1an+1=2n-1，则{an}的前40项和S40=______．
正确答案
780
解析
解：∵an+（-1）n+1an+1=2n-1，
∴a1+a2=1，a2-a3=3，a3+a4=5，a4-a5=7，a5+a6=9，a6-a7=11，…a39+a40=77．
得a3+a1=-2，a4+a2=8，a7+a5=-2，a8+a6=24，a9+a7=-2，a12+a10=40，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于-2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
所以{an}的前40项和为
故答案为780．
（2015秋•宜春期末）已知定义在R上函数y=f（x+1）是偶函数，且在[0，+∞）上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{an}的前25项之和为（ ）
A0
B
C25
D50
正确答案
解析
解：∵定义在R上函数y=f（x+1）是偶函数，
∴f（-x+1）=f（x+1），
∴函数f（x）的关于直线x=1对称．
∵数列{an}是公差不为0的等差数列，f（a6）=f（a20），在[0，+∞）上单调，
∴a6＜1＜a25或a25＜1＜a6，
∴
∴a13=1．
∴S25=
故选：C．
已知正项数列{an} 满足Sn+Sn-1=tan2+2（n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是数{an} 的前n项和．
（1）求a2及通项an；
（2）记数列{
正确答案
解：（1）a1=1，S2+S1=ta22+2得a2=0（舍去）或
又Sn+Sn-1=tan2+2 （1）
Sn-1+Sn-2=tan-12+2（n≥3）（2）
（1）-（2）得an+an-1=t（an2-an-12）（n≥3），
因为数列{an}为正项数列，∴
即数列{an}从第二项开始是公差为
（2）当n=1时，T1=t＜2；
n≥2时，Tn=
要使Tn＜2对所有n∈N*恒成立，只
故0＜t≤1得证----（14分）
解析
解：（1）a1=1，S2+S1=ta22+2得a2=0（舍去）或
又Sn+Sn-1=tan2+2 （1）
Sn-1+Sn-2=tan-12+2（n≥3）（2）
（1）-（2）得an+an-1=t（an2-an-12）（n≥3），
因为数列{an}为正项数列，∴
即数列{an}从第二项开始是公差为
（2）当n=1时，T1=t＜2；
n≥2时，Tn=
要使Tn＜2对所有n∈N*恒成立，只
故0＜t≤1得证----（14分）
若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是
（ ）
正确答案
解析
解：设两个连续偶数为2k+2和2k，则（2k+2）2-（2k）2=4（2k+1），
故和平数的特征是4的奇数倍，
故在1～100之间，能称为和平数的有4×1、4×3、…、4×25，共计13个，
其和为
故选C．
已知数列{an}的通项公式
正确答案
解析
解：∵数列{an}的通项公式
∴前n项和Sn=a1+a2+…+an
=
=（1-
=1-
=
故答案为：
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