热门试卷

解：（Ⅰ）由题意，整理得，

所以所求轨迹E的方程为；

（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；

当直线l与x轴垂直时，l：x=1，此时，

以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为，不合题意；

当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线l：y=k（x-1）（k≠0），

M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点，

由消y得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，

由得，

所以，

则线段MN的中垂线m的方程为，

整理得直线m：，

则直线m与y轴的交点，

注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，当且仅当RM⊥RN，

即，

，①

由，②

将②代入①解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x-1）；

综上，所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0。

解：（1）设，

由已知得到，且，

设切线PA的方程为：，

由得，

从而，

解得，

因此PA的方程为：，

同理PB的方程为：，

又在PA、PB上，所以，

即点都在直线上，

又也在直线上，

所以三点A、M、B共线。

（2）垂线AN的方程为：，

由得垂足，

设重心G（x，y），

所以，解得，

由，可得，

即为重心G所在曲线方程。

解：（Ⅰ），；

（Ⅱ）直线l1：kx-y=0（k＞0），直线l2：kx+y=0，

由题意得，即，

由P（x，y）∈W，知，

所以，

所以动点P的轨迹C的方程为。

（Ⅲ）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a（a≠0），

由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，

于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），

所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为，即它们的重心重合；

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0），

由得，

由直线l与曲线C有两个不同交点，可知，

且，

设的坐标分别为，

则，

设的坐标分别为，

由得，

从而，

所以，

所以，

于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合。

(Ⅰ)解：由题意得，解得a=1，，

所以b2=c2-a2=2，

所以双曲线C的方程为。

(Ⅱ)证明：点P(x0，y0) (x0y0≠0)在圆x2+y2=2上，

圆在点P(x0，y0)处的切线l的方程为，

化简得x0x+y0y=2，

由及得，

因为切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

所以，且，

设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，

则，

因为，

且

,

所以∠AOB的大小为90°．