- 平面与圆锥面的截线
- 共745题
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，求DE的长．
正确答案
5
延长BA交切线CD于M.因为∠C＝90°，
所以AB为直径，所以半径为10.连结OC，则OC⊥CD，且OC∥BD.
因为∠OAC＝60°，所以∠AOC＝60°，∠OBE＝60°，
即BE＝OB＝10且∠M＝30°.
所以OM＝2OC＝20，所以AM＝10.
所以BD＝
即DE＝BD－BE＝15－10＝5.
如图所示，在△ABC中，I为△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC外接圆于E.
求证：(1)IE＝EC；
(2)IE2＝ED·EA.
正确答案
见解析
证明 (1)连接IC，∵I为内心，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
∵∠1＝∠5，∴∠2＝∠5.
∴∠3＋∠2＝∠4＋∠5，
∴∠EIC＝∠ECI.∴IE＝CE.
(2)∵∠E＝∠E，∠2＝∠5，
∴△ECD∽△EAC，∴
∴CE2＝AE·DE，∴IE2＝AE·ED.
如图，正三角形ABC外接圆的半径为1，点M、N分别是边AB、AC的中点，延长MN与△ABC的外接圆交于点P，求线段NP的长．
正确答案
设正三角形ABC的边长为x，由正弦定理，得
如图，在△ABC中，∠B＝90°，以AB为直径的圆O交AC于D，过点D作圆O的切线交BC于E，AE交圆O于点F.求证：
(1)E是BC的中点；
(2)AD·AC＝AE·AF.
正确答案
（1）见解析（2）见解析
(1)连结BD，因为AB为圆O的直径，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB切圆O于点B且ED切圆O于点D，因此EB＝ED，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED＝EC，因此EB＝EC，即E是BC的中点．
(2)连结BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有
即AB2＝AE·AF，同理可得AB2＝AD·AC，
所以AD·AC＝AE·AF.
如图，点B在圆O上，M为直径AC上一点，BM的延长线交圆O于N，∠BNA＝45°，若圆O的半径为2
正确答案
2
∵∠BNA＝45°，∴∠BOA＝90°.∵OM＝2，BO＝2
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