热门试卷

（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）

设l：x=ty+1代入抛物线y2=4x消去x得，

y2-4ty-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）

则y1+y2=4t，y1y2=-4

∴•=x1x2+y1y2=（ty1+1）（ty2+1）+y1y2

=t2y1y2+t（y1+y2）+1+y1y2

=-4t2+4t2+1-4=-3．

（Ⅱ）设l：x=ty+b代入抛物线y2=4x，消去x得

y2-4ty-4b=0设A（x1，y1），B（x2，y2）

则y1+y2=4t，y1y2=-4b

∴•=x1x2+y1y2=（ty1+b）（ty2+b）+y1y2

=t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2

=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b

令b2-4b=-4，∴b2-4b+4=0∴b=2．

∴直线l过定点（2，0）．

（I）设P（x，y）．

由已知 =（x，y+2），=（0，4），=（-x，2-y），

•=4y+8．

||•||=4x2+（y-2）2（3分）

∵•=||•||

∴4y+8=4x2+（y-2）2整理，得x2=8y

即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x2=8y．（6分）

（II）由已知N（0，2）．

即得（-x1，2-y1）=λ（x2，y2-2）

设A（x1，y1），B（x2，y2）．由=λ

即得（-x1，2-y1）=λ（x2，y2-2），

∴-x1=λx2…（1），

2-y1=λ（y2-2）…（2）

将（1）式两边平方并把x12=8y1，x22=8y2代入得y1=λy2（3分）

解得 y1=2λ，y2=，

且有x1x2=-λx22=-8λy2=-16．（8分）

抛物线方程为 y=18x2，求导得y′=x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y=x1（x-x1）+y1，y=x2（x-x2）+y2，

即y=x1x-x12，y=x2x-x22

解出两条切线的交点Q的坐标为 （，）=（，-2）（11分）

所以 •=（，-4）•（x2-x1，y1-y2）

=（x22-x12）-4（x22-x12）=0

所以 •为定值，其值为0．（13分）

（1）设={u，v}，

则由||=2||，•=0

即

得，或．

∵=+={u+4，v-3}，

∴v-3＞0，

得v=8，

∴={6，8}；

（2）由={10，5}，得B（10，5），

于是直线OB方程：y=x．

由条件可知圆的标准方程为：（x-3）2+y（y+1）2=10，

得圆心（3，-1），半径为．

设圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（x，y）

则，

得，

∴所求圆的方程为（x-1）2+（y-3）2=10；

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线上关于直线OB对称两点，

则，

得

即x1，x2为方程x2+x+=0的两个相异实根，

于是由△=-4•＞0，

得a＞．

∴当a＞时，抛物线y=ax2-1上总有关于直线OB对称的两点．

解：(1)设直线l的方程为：，联立方程可得得:  ①

设，，，则，  ②

，

而，

∴，

即，、成等比数列

(2)：由，得，，即得：，，

则 

由(1) 中②代入得α+β=-1，故α+β为定值且定值为-1 

法2：设直线l的方程为：，，，，

M(0,2)得:

由，得，

即证.  

法3：设直线l的方程为：，，，，

M(0,2)得：代入

有：即，   

同理：，所以α，β是方程2x2+2x+k=0的两根

故α+β=-1。