- 正态分布
- 共275题
某学校高三年级有学生1 000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学，
(Ⅰ)求甲、乙两同学都被抽到的概率，其中甲为A类同学，乙为B类同学；
(Ⅱ)测得该年级所抽查的100名同学身高（单位：厘米）频率分布直方图如下图：
(ⅰ)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[160，170)的中点值为165）作为代表。据此，计算这100名学生身高数据的期望μ及标准差σ（精确到0.1）：
(ⅱ)若总体服从正态分布，以样本估计总体，据此，估计该年级身高在(158.6，181.4)范围中的学生的人数；
(Ⅲ)如果以身高达170cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到下列联表：
体育锻炼与身高达标2×2列联表
(ⅰ)完成上表；
(ⅱ)请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？
参考公式：
参考数据：
正确答案
解：(Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均为
且事件“甲同学被抽到”与事件“乙同学被抽到”相互独立，
故甲、乙两人都被抽到的概率为
(Ⅱ)(ⅰ)总体数据的期望约为：
μ=145×0.03+155×0.17+165×0.30+175×0.30+185×0.17+195×0.03=170(cm)，
标准差σ=11.4。
(ⅱ)由于μ=170，σ≈11.4，
当身高x∈(158.6，181.4)时，即x∈（μ-σ，μ+σ），
故身高落在(158.6，181.4)中的概率为0.682 6，
故身高落在(158.6，181.4)中的人数为683人。
(Ⅲ)(ⅰ)
(ⅱ)
故有75%把握认为体育锻炼与身高达标有关系。
在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100），已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名，
（Ⅰ）试问此次参赛学生总数约为多少人？
（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可供查阅的（部分）标准正态分布表
正确答案
解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N(70，100)，
由条件知，P(ξ≥90)=1-P（ξ＜90）=1-F(90)=1-Φ
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，
因此，参赛总人数约为
（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，
则P(ξ≥x)=1-P（ξ＜x）=1-F(90)=1-Φ
即Φ(
查表得
故设奖得分数线约为83.1分。
在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，
正确答案
0.1
如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为
（Ⅰ）求X的均值EX；
（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间（-0.03，0.03）内的概率。
附表：
正确答案
解：每个点落入M中的概率均为
依题意知
（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意所求概率为
已知随机变量
正确答案
0.1359
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