- 机械能守恒定律
- 共29368题
如图所示，图甲是杭州儿童乐园中的过山车的实物图片，图乙是过山车的原理图。在原理图中，半径分别为R1=2.0m和R2=8.0m的两个光滑圆形轨道固定在倾角为
（1）若小车能通过A、B两点，则小车在P点的初速度满足什么条件？
（2）若小车恰好能通过第二个圆形轨道的最高点B，则小车通过第一个圆形轨道最低点时，对轨道的压力大小是多少？
甲
正确答案
解：（1）在B有：
P点到B点的过程，由动能定理得：
其中，l2为PZ之间的距离，根据几何关系可知满足：
解得：
（2）通过（1）问中的解可知，小车恰好能通过第二个圆形轨道的最高点B时，小车在P点初速度为
P点到A点的过程，由动能定理得：
设小车通过第一个圆形轨道最低点时的速度vc，由机械能守恒定律得：
由牛顿定律得：FN-mg=
解得：FN=1920N
根据牛顿第三定律可得压力为1920N。
如图所示为某娱乐场的滑道示意图，其中AB为曲面滑道，BC为水平滑道，水平滑道BC与半径为1.6m的1/4圆弧滑道CD相切，DE为放在水平地面上的海绵垫。某人从坡顶滑下，经过高度差为20m的A点和B点时的速度分别为2m/s和12m/s，在C点做平抛运动，最后落在海绵垫上E点。人的质量为70kg，在BC段的动摩擦因数为0.2。问：
（1）从A到B的过程中，人克服阻力做的功是多少？
（2）为保证在C点做平抛运动，BC的最大值是多少？
（3）若BC取最大值，则DE的长是多少？
正确答案
解：（1）由动能定理：
得：
（2）BC段加速度为：
设在C点的最小速度为
BC的最大值为：
BC的长度范围是0--
（3）平抛运动的时间：
BC取最大长度，对应平抛运动的初速度为
平抛运动的水平位移：
DE的长：
如图所示，质量为m的木块压缩轻质弹簧静止在O点，水平面ON段光滑，长为L的NN'段粗糙，木块与NN'间的动摩擦因数为μ。现释放木块，若木块与弹簧相连接，则木块最远到达NN'段中点，然后在水平面上做往返运动，且第一次回到N时速度大小为v；若木块与弹簧不相连接，木块与弹簧在N点即分离，通过N'点时以水平速度飞出，木块落地点P到N'的水平距离为s。求：
（1）木块通过N'点时的速度；
（2）木块从O运动到N的过程中弹簧弹力做的功；
（3）木块落地时速度vp的大小和方向。
正确答案
解：（1）木块从N到NN'中点，再回到N点，此过程弹簧弹力做功代数和为零，克服摩擦力做的功为W克；若木块与弹簧不相连接，木块从N到达N'过程中，弹簧弹力不做功，克服摩擦力做的功也为W克，又因为两种情况木块到达N时的速度相同，所以到达N'的速度v'应等于第一次回到N时速度v，即v'＝v
（2）木块从O运动到N的过程中弹簧弹力做的功为W
W－W克＝mv2/2
W＝mv2/2+mgL
（3）木块落地时速度为vp
t＝s/v，h＝gt2/2＝gs2/2v2
mgh＝mvp2/2－mv2/2
得
vp与水平方向夹角为θ，cos
在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力F1推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力F2推这一物体，当恒力F2作用时间与恒力F1作用时间相同时，物体恰好同到原处，此时物体的动能为24J，求在整个过程中，恒力F1做的功和恒力F2做的功。
正确答案
6J，18J
以10m/s的速度将质量为m的物体竖直向上抛出，若空气阻力忽略不计，g＝10m/s2，则：
⑴物体上升的最大高度是多少？
⑵上升过程在何处重力势能和动能相等？
正确答案
解：物体在空气中只有重力做功，故机械能守恒。
⑴以地面为参考点，则：
在最高点动能为零，故：
由E1=E2得：
⑵初状态设在地面，则：
终态设在h1高处，故：
因机械能守恒：E1=E2
一滑块经水平轨道AB，进入竖直平面内的四分之一圆弧轨道BC。已知滑块的质量m=0.60kg，在A点的速度vA=8.0m/s，AB长x=5.0m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.15，圆弧轨道的半径R=2.0m，滑块离开C点后竖直上升h=0.20m，取g=10m/s2。求：
（1）滑块经过B点时速度的大小；
（2）滑块经过B点时圆弧轨道对它的支持力的 大小；
（3）滑块在圆弧轨道BC段克服摩擦力所做的功。
正确答案
解：（1）滑块从A到B，做匀减速直线运动，由动能定理：
摩擦力f=μmg ②
联立上式，解得
（2）
N=20.7N
（3）滑块离开C点后做竖直上抛运动，由运动学公式
从B到C的过程中，摩擦力做功Wf，由动能定理
联立③⑥⑦式，解得Wf=-1.5J
克服摩擦力做功W'f=1.5J
如图所示，BAC是光滑绝缘的“L”字形平面，倒置于水平匀强电场中BA⊥AC，D为AC的中点，BC与水平面平行，且∠B＝60°，AB＝l，有一带电荷量为＋q的滑块，质量为m，先由A端沿AB面无初速下滑，到达B端的速率为v0，再由A端沿AC面无初速下滑能到C端。试求：
（1）滑块到达D点的速度大小vD；
（2）假设滑块对C端没有压力，滑块的加速度多大。
正确答案
解：（1）设AB间的电压大小为U
从A→B，由动能定理得：mg
从A→D，由动能定理得：mghAD＋qUAD＝
又hAD＝
解①②③各式得：vD＝
（2）滑块在C端受力分析如图
由FN＝0得：mgcos30°＝qEsin30° ④
又由牛顿第二定律得：qEcos30°＋mgsin30°＝ma ⑤
解④⑤得：a＝2g
如图所示，绝缘轻杆长L＝0.9m，两端分别固定着带等量异种电荷的小球A、B，质量分别为mA＝4×10-2kg，mB＝8×10-2kg，A球带正电，B球带负电，电荷量q＝6.0×10-6C。轻杆可绕过O点的光滑水平轴转动，OB＝2OA。一根竖直细线系于杆上OB中点D使杆保持水平，整个装置处在水平向右的匀强电场中，电场强度E＝5×104N/C。不计一切阻力，取g＝10m/s2，求：
（1）细线对杆的拉力大小；
（2）若将细线烧断，当轻杆转过90°时，A、B两小球电势能总的变化量；
（3）细线烧断后，在杆转动过程中小球A的最大速度。
正确答案
解：
（1）根据有固定转动轴物体的平衡条件，有
（2）杆转过90°时，电场力对两带电小球做正功，电势能减少
（3）当力矩的代数和为零时，B球的速度达到最大
θ＝37°
由动能定理：
联立求得：vA＝2m/s
如图所示，长为L的细绳竖直悬挂着一质量为2m的小球A，恰好紧挨着放置在水平面上质量为m的物块B。现保持细绳绷直，把小球向左上方拉至细绳与竖直方向成60°的位置，然后释放小球。小球到达最低点时恰好与物块发生碰撞，而后小球向右摆动的最大高度为L/8，物块则向右滑行了L的距离而静止，求物块与水平面间的动摩擦因数μ。
正确答案
解：对小球下摆过程分析，根据机械能守恒：
对小球上摆过程分析，根据机械能守恒：
对小球和物块碰撞瞬间分析，根据动量守恒：
由①②③式解得：
对碰后物块分析，根据动能定理：
由④⑤解得物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.5
有一长为L的木块，质量为M，静止地放在光滑的水平面上，现有一质量为m的子弹（可视为质点）以初速度入射木块，若在子弹穿出木块的过程中，木块发生的位移为x，求子弹射出木块后，木块的速度和子弹的速度。（已知子弹在木块中受到的阻力恒为f）
正确答案
解：在子弹和木块发生相互作用的过程中，对木块由动能定理有：
可解得：
在子弹和木块发生相互作用的过程中，子弹发生的位移为：
对子弹由动能定理有：
可解得：
如图所示，半径R=2m的四分之一粗糙圆弧轨道AB置于竖直平面内，轨道的B端切线水平，且距水平地面高度为h=1.25m，现将一质量m=0.2kg的小滑块从A点由静止释放，滑块沿圆弧轨道运动至B点以v=5m/s的速度水平飞出（g取10m／s2）。求：
（1）小滑块沿圆弧轨道运动过程中所受摩擦力做的功；
（2）小滑块经过B点时对圆轨道的压力大小；
（3）小滑块着地时的速度大小和方向。
正确答案
解：（1）滑块在圆弧轨道受重力、支持力和摩擦力作用，由动能定理mgR－Wf=
Wf=1.5J
（2）滑块经过B点时，由牛顿第二定律得：FN－mg=m
FN=4.5N
根据牛顿第三定律，小滑块对轨道的压力大小也为4.5N
（3）滑块离开圆弧后做平抛运动：H=
落地时竖直分速度vy=gt=5m/s
落地时速度大小
设滑块落地时速度方向与水平方向夹角为
所以
即滑块落地时速度方向与水平方向夹角为45度
如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r=0.4m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合。现有一质量为m=1kg可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放，
（1）若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？
（2）若小球静止释放处离C点的高度h小于（1）中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h。（取g=10m/s2）
（3）若小球自H=0.3m处静止释放，求小球到达F点对轨道的压力大小。
正确答案
（1）0.2 m
（2）0.1 m
（3）65N
如图所示，虚线上方有场强为E的匀强电场，方向竖直向下，虚线上下有磁感应强度相同的匀强磁场，方向垂直纸面向外，ab是一根长为l的绝缘细杆，沿电场线放置在虚线上方的场中，b端在虚线上，将一套在杆上的带正电的小球从a端由静止释放后，小球先做加速运动，后做匀速运动到达b端，已知小球与绝缘杆间的动摩擦系数μ=0.3，小球重力忽略不计，当小球脱离杆进入虚线下方后，运动轨迹是半圆，圆的半径是l/3，求带电小球从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与电场力所做功的比值。
正确答案
解：小球在沿杆向下运动时，受力情况如图，向左的洛仑兹力F，向右的弹力N，向下的电场力qE，向上的摩擦力f
F=Bqv，N=F=Bqv
当小球作匀速运动时，
小球在磁场中作匀速圆周运动时，
又R=
小球从a运动到b过程中，由动能定理得：
所以
如图所示，将一质量m=0.1kg的小球自水平平台顶端O点水平抛出，小球恰好与斜面无碰撞的落到平台右侧一倾角为α=53°的光滑斜面顶端A并沿斜面下滑，然后以不变的速率过B点后进入光滑水平轨道BC部分，再进入光滑的竖直圆轨道内侧运动。已知斜面顶端与平台的高度差h=3.2m，斜面顶端高H=15m，竖直圆轨道半径R=5m。（重力加速度g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）小球水平抛出的初速度υ0及斜面顶端与平台边缘的水平距离x；
（2）小球离开平台后到达斜面底端的速度大小；
（3）小球运动到圆轨道最高点D时受到的轨道的压力的大小。
正确答案
解：（1）研究小球作平抛运动，小球落至A点时，由平抛运动速度分解图可得：
v0= vycotα
vA=
vy2=2gh
h=
x=v0t
由上式解得：v0=6m/s，x=4.8m，vA=10m/s
（1）由动能定理可得小球到达斜面底端时的速度vB
mgH=
vB=20m/s
（3）小球从C点到D点，由动能定理可得小球到达D点时的速度vD
-2mgR=
在D点由牛顿第二定律可得：N+mg=
由上面两式可得：N=3N
如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上；B、C两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上。用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放C后它沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，求：
（1）当物体A从开始到刚离开地面时，物体C沿斜面下滑的距离；
（2）斜面倾角α；
（3）B的最大速度vBm。
正确答案
解：（1）设开始时弹簧压缩的长度为xB，得：
设当物体A刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为xA，得：
当物体A刚离开地面时，物体B上升的距离以及物体C沿斜面下滑的距离为：
由①②③式解得：
（2）物体A刚刚离开地面时，以B为研究对象，物体B受到重力mg、弹簧的弹力kxA、细线的拉力T三个力的作用，设物体B的加速度为a，根据牛顿第二定律，对B有：
对A有：
由②③两式得：
当B获得最大速度时，有：
由②⑦⑧式联立，解得：
所以：
（3）由于xA=xB，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，弹簧弹力做功为零，且物体A刚刚离开地面时，B、C两物体的速度相等，设为vBm，由动能定理得：
由①④⑩⑾式，解得：
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