- 机械能守恒定律
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(12分)如图所示，竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道固定在水平面上。一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点。已知水平轨道AB长为L。求：
（1）小物块与水平轨道的动摩擦因数。
（2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是多大？
（3）若圆弧轨道的半径R取第（2）问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是1.5R处，试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上。如果能，将停在何处？如果不能，将以多大速度离开水平轨道？
正确答案
（1）
试题分析：（1）小物块从冲上水平轨道AB到最终停在AB的中点，在这个过程中，
由动能定理得
得
（2）若小物块刚好到达D处，速度为零则小物块不会从轨道的D端离开轨道，此过程根据动能定理有
解得CD圆弧半径至少为
（3）设物块以初动能E′冲上轨道，可以达到的最大高度是1.5R，由动能定理得
物块滑回C点时有动能定理
物块滑回C点的动能为
由于
设到A点的距离为x，有
即物块最终停在水平滑道AB上，距A点
如图所示，粗糙斜面与水平面通过半径可忽略的光滑小圆弧平滑连接，斜面倾角α＝37°，水平面的M到N段是长度L1＝0.3m的粗糙平面，N点的右边是光滑的。A、B是两个质量均为m＝1kg的小滑块（可看作质点），置于N点处的C是左端附有胶泥的薄板（质量不计），D是两端分别与B和C连接的轻质弹簧，滑块A与斜面和与水平面MN段的动摩擦因数相同。当滑块A置于斜面上且受到大小F＝4N、方向垂直斜面向下的恒力作用时，恰能向下匀速运动。现撤去F，让滑块A从斜面上距斜面底端L2＝1m处由静止下滑（取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：滑块A与C接触并粘连在一起后，两滑块与弹簧所构成的系统在相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能。
正确答案
0.25J
试题分析：⑴设滑块A与斜面和与水平面MN段的动摩擦因数均为μ，施加恒力时
μ(F＋mgcosα)＝mgsinα （2分）
未施加力时，设A滑到斜面底端的速度然后，滑块在MN段运动时，受水平面的摩擦力作用速度减为v2，由动能定理有
(mgsinα－μmgcosα)L2－μmgL1＝
代入数据得 v2＝1m/s
滑块A与C接触后，A、B、C、D组成的系统动量守恒，能量守恒，所以当A、B具有共同速度v3时，系统的动能最小，弹簧弹性势能最大，设为Ep，则
mv2＝2mv3 （2分）
代入数据得 Ep＝0.25J （2分）
（10分）如图2所示，半径为r的绝缘细圆环的环面固定在水平面上，场强为E的匀强电场与环面平行。一电量为+q、质量为m的小球穿在环上，可沿环作无摩擦的圆周运动，若小球经A点时，速度vA的方向恰与电场垂直，且圆环与小球间沿水平方向无力的作用，试计算：
（1）小球运动达到最大速度的位置(半径与竖直方向成的角度θ用字母表示)
(2) 速度vA的大小；
（3）小球运动到与A点对称的B点时，对环在水平方向的作用力。
正确答案
(1) 
(1)
（2）在A点，小球在水平方向只受电场力作用，根据牛顿第二定律得：
（3）在小球从A到B的过程中，根据动能定理，电场力做的正功等于小球动能的增加量，即 
小球在B点时，根据牛顿第二定律，在水平方向有
解以上两式，小球在B点对环的水平作用力为：
本题考查复合场和圆周运动、动能定理的综合应用，把重力和电场力进行合成，转化为等效重力场，在等效重力场的最低点小球速度最大，根据圆周运动沿着半径方向的合力提供向心力可求得在A点速度大小，从A到B运动过程中只有电场力做功，由动能定理求得B点速度，再由圆周运动的合力提供向心力求得环的支持力大小
点评：本题综合性比较强，考到的知识点很多，这就需要学生对圆周运动、动能定理、等效重力场的受力特点非常熟悉并能够加以应用
（12分）如下图所示，一个电子以4×106m/s的速度沿与电场垂直的方向从A点飞进匀强电场，并且从另一端B点沿与场强方向成150°角方向飞出，那么，A、B两点间的电势差为多少伏？(电子的质量为9.1×10－31kg)
正确答案
－1.4×102V.
试题分析：电子在水平方向做匀速直线运动，即达B点时，水平分速度仍为vA，则
由动能定理：
解得
如图所示小孩和雪橇的总质量m=10kg，大人用与水平方向成θ=53°角斜向上F=80N的拉力拉雪橇，使雪橇从静止开始沿水平地面做匀加速直线运动．4s末撤去拉力，然后做匀减速直线运动直到停止。已知雪橇与水平地面的动摩擦因数
（1）撤去拉力时雪橇的速度是多少？
（2）雪橇在前4s内运动的位移为多少？
（3）撤去拉力后雪橇还能运动多远？
正确答案
(1) a=3m/s2 v=12m/s (2) x =24m (3) x ' =14.4m
试题分析：（1）对雪橇受力分析可得：
4s末撤去拉力时有：
（2）雪橇在前四秒内做初速度为零的匀加速直线运动，根据
（3）根据动能定理可得：
点评：本题属牛顿运动定律的基本题型，只要能掌握运动情景及正确受力分析即可顺利求解．
如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道，轨道半径为R，A端与圆心等高，AD为水平面，B点在圆心的正下方，一小球m自A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入轨道，小球巧好能够通过最高点C，求：
（1）小球到B点时的速度vB；
（2）释放点距A的竖直高度h；
（3）落点D与A的水平距离s。
正确答案
(1) 
试题分析：(1)小球恰好通过最高点C点，即C点轨道弹力等于0，根据径向合力提供向心力，在最高点满足
(2)从释放点到B点，只有重力做功，由动能定理得
（3）物体离开轨道最高点C点后将做 平抛运动，落在AD水平面上，那么平抛的高度就是R，竖直方向自由落体运动，则有
滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜爱。如图4是滑板运动的轨道，AB和CD是两段光滑圆弧形轨道，BC是一段长7m的水平轨道。一运动员从AB轨道上的P点以6m/s的速度下滑，经BC轨道后冲上CD轨道，到Q点时速度减为零。已知运动员的质量50kg，h=1.4m，H=1.8m。(g=10m/s2) 求
(1) 运动员第一次经过B点、C点时的速度各是多少?
(2) 运动员与BC轨道间的动摩擦因数
正确答案
(1) Vc="6m/s(2)" µ=0.2
试题分析：以水平轨道为零势能面
（1）根据机械能守恒定律，
根据机械能守恒定律，
(2)由动能定理，-µmgs=
点评：本题难度较小，利用动能定理求解问题时，注意找到初末位置和运动过程的受力以及力做功问题
（15分）如图所示，某人驾驶摩托车做特技表演，以某一初速度沿曲面冲上高h、顶部水平的高台，到达平台顶部以v0=
正确答案
4.3mg
摩托车离开平台后平抛运动过程中，
在竖直方向
摩托车落到A点时速度方向沿A点切线方向，设速度与水平方向夹角为
人和车的水平分速度vx=v0=
所以, tan 
可知
设人和车在最低点速度为v1，则摩托车由高台顶部到圆弧轨道最低点的过程中，由机械能守恒定律得
在最低点，据牛顿第二定律，有
代入数据解得
由牛顿第三定律可知，摩托车对轨道的压力为4.3mg （1分）
本题考查动能定理和圆周运动的应用，根据在A点沿切线方向，根据平抛运动可求得速度大小和方向，再由最高点到最低点应用动能定理可求得最低点速度大小，在最低点由支持力和重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可求得支持力大小
如下图所示，水平轨道AB与位于竖直面内半径为R="0.90" m的半圆形光滑轨道BCD相连，半圆形轨道的BD连线与AB垂直。质量为m=1.0kg可看作质点的小滑块在恒定外力F=17.5N作用下从水平轨道上的A点由静止开始向右运动，物体与水平地面间的动摩擦因数μ=0.5。到达水平轨道的末端B点时撤去外力，已知AB间的距离为x=1.8m，滑块进入圆形轨道后从D点抛出，求滑块经过圆形轨道的B点和D点时对轨道的压力是多大？（g取10m/s2）
正确答案
60N 0
由动能定理，得
在B点有
联系解得 FN="60N"
由牛顿第三定律知，滑块在B点对轨道的压力大小为60N （1分）
滑块由B点到D点过程由动能定理，得
在D点有
联立解得 FN2="0 "
由牛顿第三定律知滑块在D点对轨道的压力大小为0 （1分）
A、B两物体的质量之比mA：mB=2：1，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止．
（1）若A、B两物体所受摩擦阻力相同，则整个过程中A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比WA：WB分别为______，运动位移之比xA：xB=______
（2）若A、B两物体与地面的动摩擦因数相同，则整个过程中A、B两物体运动位移之比xA：xB=______，运动时间之比为tA：tB=______．
正确答案
（1）根据动能定理得：
0-
A、B两物体的质量之比mA：mB=2：1，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，
所以初动能之比为2：1，
所以WA：WB=2：1，
若A、B两物体所受摩擦阻力相同，所以xA：xB=2：1．
（2）若A、B两物体与地面的动摩擦因数相同，A、B两物体的质量之比mA：mB=2：1，
所以摩擦力fA：fB=2：1
两物体运动位移之比xA：xB=1：1，
由于做匀减速运动，运动时间t=
运动时间之比为tA：tB=1：1
故答案为：（1）2：1，2：1，
（2）1：1，1：1
如图所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两只质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知
正确答案
（1）
试题分析：（1）
且
在最低点，对
根据牛顿第三定律，物体
（2）对
解得
点评：本题难度中等，应先判断系统机械能是否守恒，确定初末状态的动能和势能，规定零势能面应用机械能守恒定理公式求解
如图所示，一质量为m的滑块从高为h的光滑圆弧形槽的顶端A处无初速度地滑下，圆弧的半径为R, 槽的底端B与水平传A带相接，传送带的运行速度为v0，长为L,滑块滑到传送带上后做匀加速运动，滑到传送带右端C时，恰好被加速到与传送带的速度相同，求：
(1)滑块到达底端B时对轨道的压力F
(2)滑块与传送带间的动摩擦因数μ
(3)此过程（即滑块在传送带上运动）的时间
正确答案
（1）
试题分析：(1)设滑块到达B点的速度为v，由机械能守恒定律，有
(2)滑块在传送带上做匀加速运动，受到传送带对它的滑动摩擦力，有μmg =ma,滑块对地位移为L，末速度为v0，则
(3)
点评：本题中涉及到空间量：高度h和距离L，优先考虑运用动能定理研究．比较容易．
（20分）如图所示，有3块水平放置的长薄金属板a、b和c，a、b之间相距为L。紧贴b板下表面竖直放置半径为R的半圆形塑料细管，两管口正好位于小孔M、N处。板a与b、b与c之间接有电压可调的直流电源，板b与c间还存在方向垂直纸面向外的匀强磁场。当体积为V0、密度为r、电荷量为q的带负电油滴，等间隔地以速率v0从a板上的小孔竖直向下射入，调节板间电压Uba和Ubc，当Uba=U1、Ubc=U2时，油滴穿过b板M孔进入细管，恰能与细管无接触地从N孔射出。忽略小孔和细管对电场的影响，不计空气阻力。
求：
（1）油滴进入M孔时的速度v1；
（2）b、c两板间的电场强度E和磁感应强度B的值；
（3）当油滴从细管的N孔射出瞬间，将Uba和B立即调整到
正确答案
（1）
试题分析：（1）油滴入电场后，重力与电场力均做功，设到M点时的速度为v1，由动能定理
考虑到
（2）油滴进入电场、磁场共存区域，恰与细管无接触地从N孔射出，须电场力与重力平衡，有：
油滴在半圆形细管中运动时，洛伦兹力提供向心力，由
得：
（3）若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿过M点，由动能定理，
得：
考虑到油滴返回时速度方向已经相反，为了使油滴沿原路与细管无接触地返回并穿过M孔，磁感应强度的大小不变，方向相反，即：B´="-" B
点评：此类题型考察了多过程的粒子在匀强磁场、匀强电场中粒子的加速和偏转问题。这类问题通常来说只要能够正确画出粒子的运动轨迹，就能够找到正确的几何关系，从而求解。
物体在斜坡上A处由静止开始滑下，如图所示。滑到B处后又沿水平直路前进到C处停下。如果物体在A处以一定的初速度v0=10m/s滑下，求物体停下处D距C多远？斜坡AB与直路BC用一段极短的圆弧连接，物体可视为质点且与路面的摩擦系数处处相同为μ=0.5。（g=10m/s2）
正确答案
设斜坡倾角为
②-①式可得：
代入数据得到物体停下处D距C的距离为：
本题考查动能定理的应用，重力做功与路径无关只与初末位置有关，摩擦力做功与路径有关
如图所示，在竖直放置的平行金属板M、N之间有一带电微粒，自A点以初速度v0竖直向上进入场强为E的匀强电场后，正好垂直打在N板的B点，AC⊥BC，且AC=BC，则打在B点时微粒的速度是______，A、B点的电势差是______．
正确答案
设微粒从A运动到B的时间为t，AC=BC=d，则有
水平方向：
竖直方向：
得到，v=v0研究竖直方向，得到
02-
得，d=
所以A、B点的电势差是U=Ed=
故答案为：v0，
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