双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：单选题

单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，其中一条渐近线方程为y=x（b∈N*），P为双曲线上一点，且满足|OP|＜5（其中O为坐标原点），若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，则双曲线C的方程为（　　）

A-y2=1

Bx2-y2=1

C-=1

D-=1

正确答案

解析

解：∵|F1F2|2=|PF1|•|PF2|，

∴4c2=|PF1|•|PF2|，

∵|PF1|-|PF2|=4，

∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|=16，

即：|PF1|2+|PF2|2-8c2=16，①

设：∠POF1=θ，则：∠POF2=π-θ，

由余弦定理得：|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2|•|OP|•cos（π-θ），

|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|•cosθ

整理得：|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2②

由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2

∵OP＜5，∴20+3b2＜25，∵b∈N，∴b2=1．

∵一条渐近线方程为y=x（b∈N*），

∴=，∴a=2，

∴=1．

故选：A．

题型：单选题

单选题

双曲线C1：-=1（a＞0，b＞0）与抛物线C2：y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰过它们公共焦点F，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（　　）

A（，）

B（，）

C（，）

D（0，）

正确答案

解析

解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0）

∴p=2c

∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，

∴将x=c代入双曲线方程得到A（c，）

将A的坐标代入抛物线方程得到=2pc

4a4+4a2b2-b4=0

解得=

双曲线的渐近线的方程为y=±x

设倾斜角为α，则tanα==

∴＜α＜

故选：A．

题型：简答题

简答题

双曲线C的中心在原点，右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若过点（0，1）的直线L与双曲线的右支交与两点，求直线L的斜率的范围；

（Ⅲ）设直线L：y=kx+1与双曲线C交与A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

正确答案

解：（I）设双曲线的方程为-=1，由焦点坐标得c=，渐近线方程为y=±x=±x，

∵c2=a2+b2，

∴a2=，b2=1，

∴双曲线C的方程为：-y2=1．

（II）设直线L的方程为y=kx+1，联立直线和曲线方程得，消去y得：（3-k2）x2-2kx-2=0，

设两交点为（x1，y1），（x2，y2），由直线和曲线右支交于两点得：，

解得：-＜k＜-．

（III）由得（3-k2）x2-2kx-2=0，

由△＞0，且3-k2≠0，得-＜k＜，且k≠±．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以 x1x2+y1y2=0，又x1+x2=，x1x2=，

∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，

∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即++1+=0，

∴+1=0，解得k=±1．

解析

解：（I）设双曲线的方程为-=1，由焦点坐标得c=，渐近线方程为y=±x=±x，

∵c2=a2+b2，

∴a2=，b2=1，

∴双曲线C的方程为：-y2=1．

（II）设直线L的方程为y=kx+1，联立直线和曲线方程得，消去y得：（3-k2）x2-2kx-2=0，

设两交点为（x1，y1），（x2，y2），由直线和曲线右支交于两点得：，

解得：-＜k＜-．

（III）由得（3-k2）x2-2kx-2=0，

由△＞0，且3-k2≠0，得-＜k＜，且k≠±．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以 x1x2+y1y2=0，又x1+x2=，x1x2=，

∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，

∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即++1+=0，

∴+1=0，解得k=±1．

题型：填空题

填空题

设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点

∴点P到原点的距离|PO|==c，∠F1PF2=90°，

∵|PF1|=2|PF2|，

∴|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a，

∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，

∴16a2+4a2=4c2，

∴5a2=c2，

∴e=

故答案为：

题型：简答题

简答题

（2015秋•吉林校级期末）讨论直线l：y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1的公共点的个数．

正确答案

解：联立y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1，化为（1-k2）x2-2kx-2=0．

①当1-k2=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点；

②当1-k2≠0时，由△=4k2+8（1-k2）=0，解得k=±，直线与双曲线有且只有一个公共点；

③当1-k2≠0时，由△=4k2+8（1-k2）＞0，解得-＜k＜，直线与双曲线有两个公共点．

解析

解：联立y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1，化为（1-k2）x2-2kx-2=0．

①当1-k2=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点；

②当1-k2≠0时，由△=4k2+8（1-k2）=0，解得k=±，直线与双曲线有且只有一个公共点；

③当1-k2≠0时，由△=4k2+8（1-k2）＞0，解得-＜k＜，直线与双曲线有两个公共点．

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