双曲线的标准方程和图象
共1421题

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题型：填空题

填空题

若双曲线C的两条渐近线的方程为，则该双曲线方程可以为______．（只需写出一个满足题设的双曲线方程）

正确答案

（答案不唯一）

解析

解：∵双曲线C的两条渐近线的方程为，

∴可设双曲线方程为=λ（λ≠0）

即y2-=λ，取λ=-9得，即为满足题意的一个双曲线方程

故答案为：（答案不唯一）

题型：填空题

填空题

与椭圆共焦点的等轴双曲线的方程为______．

正确答案

x2-y2=1

解析

解：对于知半焦距为

所以双曲线的焦点为（）

设等轴双曲线的方程为

据双曲线的三参数的关系得到2a2=2

所以a2=1

所以双曲线的方程为x2-y2=1．

故答案为：x2-y2=1

题型：单选题

单选题

已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（　　）

A（0，）

正确答案

解析

解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．

由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，

∴2c＜10，2c+2c＞10，

⇒＜c＜5．⇒，

∴=；

=．

∴，

故选C．

题型：简答题

简答题

已知双曲线，P为双曲线C上的任意一点．

（1）写出双曲线的焦点坐标和渐近线方程；

（2）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．

正确答案

解：（1）依题意，双曲线的两焦点F1（-，0），F2（，0），两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0．

（2）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，

∵P（x1，y1）为双曲线C上的任意一点，

∴-4=4，

∴它们的乘积是•==．

∴点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．

解析

解：（1）依题意，双曲线的两焦点F1（-，0），F2（，0），两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0．

（2）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，

∵P（x1，y1）为双曲线C上的任意一点，

∴-4=4，

∴它们的乘积是•==．

∴点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．

题型：填空题

填空题

双曲线=1的渐近线方程为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线方程为=1，

∴渐近线方程为=0，即，

故答案为：．

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下一知识点 : 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

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