- 抛物线的定义及应用
- 共118题
已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,且过点
.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)是否存在直线,与圆
相切且与抛物线交于不同的两点
,当
为钝角时,有
成立?
若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由.
正确答案
见解析
解析
解:(1) 设抛物线方程为,
由已知得: 所以
所以抛物线的标准方程为
(2)不存在
因为直线与圆相切, 所以
把直线方程代入抛物线方程并整理得:
由 得
或
设, 则
且
为钝角
解得
,点
到直线的距离为
,
,易证
在
单调递增,
,不存在直线,当
为钝角时,有
成立。
知识点
过抛物线的焦点作直线交抛物线于
两点,若
,则抛物线方程是
正确答案
解析
由抛物线的定义知:,所以抛物线的方程是
。因此选A。
知识点
过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3.则|BF|=____ 。
正确答案
解析
易知直线的斜率不存在时,不满足题意;
当直线的斜率存在时,设过抛物线y2=4x的焦点F的直线为,与抛物线的方程联立,消元得:
,设直线与抛物线的交点为
,所以
,而
,所以
,所以
。
知识点
如图,已知抛物线的焦点在抛物线
上。
(1)求抛物线的方程及其准线方程;
(2)过抛物线上的动点
作抛物线
的两条切线
、
, 切点为
、
,若
、
的斜率乘积为
,且
,求
的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)的焦点为
,
所以,
。
故的方程为
,其准线方程为
。
(2)任取点,设过点P的
的切线方程为
。
由,得
。
由,化简得
,
记斜率分别为
,则
,
因为,所以
所以,
所以。
知识点
抛物线:在点
,
处的切线垂直相交于点
,直线
与椭圆
相交于
,
两点。
(1) 求抛物线的焦点
与椭圆
的左焦点
的距离;
(2)设点到直线
的距离为
,试问:是否
存在直线,使得
,
,
成等比数列?
若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
解:
(1)抛物线的焦点
,
椭圆的左焦点
,
则。
(2)设直线,
,
,
,
,
由,得
,
故,
。
由,得
,故切线
,
的斜率分别为
,
,
再由,得
,即
,
故,这说明直线
过抛物线
的焦点
。
由,得
,
,即
。
于是点到直线
的距离
由,得
,
从而,
同理,。
若,
,
成等比数列,则
,
即,化简整理,得
,
此方程无实根,所以不存在直线,使得
,
,
成等比数列。
知识点
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