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1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,且过点.

(1)求抛物线的标准方程;

(2)是否存在直线,与圆相切且与抛物线交于不同的两点,当为钝角时,有成立?

若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由.

正确答案

见解析

解析

解:(1) 设抛物线方程为

由已知得:  所以 

所以抛物线的标准方程为 

(2)不存在

因为直线与圆相切,  所以 

把直线方程代入抛物线方程并整理得:   

     得 

,     则

为钝角解得

,点到直线的距离为

,易证单调递增,,不存在直线,当为钝角时,有成立。

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若,则抛物线方程是

A                        

B     

C 

D

正确答案

A

解析

由抛物线的定义知:,所以抛物线的方程是。因此选A。

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3.则|BF|=____        。

正确答案

解析

易知直线的斜率不存在时,不满足题意;

当直线的斜率存在时,设过抛物线y2=4x的焦点F的直线为,与抛物线的方程联立,消元得:,设直线与抛物线的交点为,所以,而,所以,所以

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,已知抛物线的焦点在抛物线上。

(1)求抛物线的方程及其准线方程;

(2)过抛物线上的动点作抛物线的两条切线, 切点为,若的斜率乘积为,且,求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

(1)的焦点为,                                                               

所以。                                                                  

的方程为,其准线方程为。                                

(2)任取点,设过点P的的切线方程为

,得

,化简得,             

斜率分别为,则

因为,所以                                                              

所以

所以。                                                                   

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型:简答题
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简答题 · 15 分

抛物线:在点处的切线垂直相交于点,直线与椭圆相交于两点。

(1) 求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离;

(2)设点到直线的距离为,试问:是否

存在直线,使得成等比数列?

若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

解:

(1)抛物线的焦点,                                  

椭圆的左焦点,                          

。                                 

(2)设直线

,得,                  

,得,故切线的斜率分别为

再由,得,即

,这说明直线过抛物线的焦点。         

,得

,即。 

于是点到直线的距离

,得,             

从而, 

同理,。                                     

成等比数列,则,           

,化简整理,得

此方程无实根,所以不存在直线,使得成等比数列。

知识点

抛物线的定义及应用
下一知识点 : 抛物线的标准方程和几何性质
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