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题型: 单选题
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单选题

已知幂函数f(x)过点,则f(4)的值为(  )

A

B1

C2

D8

正确答案

A

解析

解:设幂函数f(x)=xa,x>0,

∵幂函数f(x)过点

,x>0,

,∴

∴f(4)==

故选A.

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题型:填空题
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填空题

在△ABC中,a2+b2=c2+ab,且sinAsinB=,则△ABC为 ______三角形.

正确答案

由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC.

∵a2+b2=c2+ab,

∴ab-2abcosC=0.

∴cosC=,∴C=60°

∵sinAsinB=,cos(A+B)=cos(180°-C)=cos120°=-

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB,

∴cosAcosB=

∴cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=1.

∵-π<A-B<π,

∴A-B=0.

∴A=B=60°

∴△ABC是等边三角形.

故答案为:等边.

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题型:填空题
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填空题

函数①y=()x,②y=x12,③y=x3,④y=x-1,⑤y=|x-1|中,值域为[0,+∞)的函数是______.(写出所有符合条件函数序号)

正确答案

①函数y=(

2

3

)x是指数函数,所以其值域为(0,+∞),故①错误.

②函数y=x12是幂函数,根据幂函数的性质可得函数的值域为[0,+∞),故②正确.

③函数y=x3,的值域为R,所以③错误.

④函数y=x-1,的值域为{x|x≠0},所以④错误.

⑤函数y=|x-1|,根据绝对值的意义可得函数的值域为[0,+∞),所以⑤正确.

故答案为:②⑤.

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题型:简答题
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简答题

已知幂函数f(x)=x1m2+m(m∈N*).

(1)试求该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;

(2)若该函数还经过点(2,),求m的值并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.

正确答案

(1)∵m2+m=m(m+1),m∈N*∴m2+m为偶数,

∴x≥0,所以函数定义域为[0,+∞)

由幂函数的性质知:其函数在定义域内单调递增.

(2)依题意得:=21m2+m,∴=,∴m=1(m∈N*

由已知得:,∴1≤a<

故a的取值范围为:[1,)

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=(m2-3)xm+104是幂函数,且图象关于y轴对称.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;

(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时,求f-1(x)并讨论其单调性.

正确答案

(Ⅰ)因为f(x)=(m2-3)xm+104是幂函数,

则m2-3=1,解得:m=±2.

当m=2时,f(x)=x3,图象不关于y轴对称,舍去;

当m=-2时,f(x)=x2,满足f(x)的图象关于y轴对称,

所以所求的函数解析式为f(x)=x2

(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时,由y=x2,得y≥0.

又由y=x2,得:x=

∴f-1(x)=(x≥0).

函数f-1(x)=在[0,+∞)上是增函数.

事实上,在[0,+∞)任取两个实数x1、x2,且x1<x2

则f-1(x1)-f-1(x2)=-

∵0≤x1<x2,∴x1-x2<0,+>0.

∴f-1(x1)-f-1(x2)<0.即f-1(x1)<f-1(x2).

故f-1(x)=在[0,+∞)上是增函数.

下一知识点 : 幂函数的图象及性质
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