- 随机抽样
- 共2422题
从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图所示），由图中数据可知a=（ ）；若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（ ）。
正确答案
0.030；3
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．
(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数；
(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。
正确答案
解：(I)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．
(Ⅱ)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则
(Ⅲ)Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2，
Bj表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0，1，2，
B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人，
Ai与Bj独立，i，j=0，1，2，
且B=A0·B2+A1·B1+A2·B0，
故P(B)=P(A0·B2+A1·B1+A2·B0)
=P(A0)·P(B2)+P(A1)·P(B1)+P(A2)·P(B0)
为征求个人所得税修改建议，某机构对不发居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）
（1）求居民月收入在[3000，4000）的频率；
（2）根据频率分布直方图估算样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽多少人？
正确答案
解：（1）月收入在[3000，4000）的频率0.0003×（3500﹣3000）+0.0001×（4000﹣3500）=0.2
（2）0.0002×（1500﹣1000）=0.1，0.0004×（2000﹣1500）=0.2，0.0005×（2500﹣2000）=0.25
∵0.1+0.2+0.25=0.55＞0.5
∴样本数据的中位数2000+
（3）月收入在[2500，3000）的这段的人数为0.25×10000=2500人，再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人，则收入在[2500，3000）的这段应抽100×
某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160，165），第二组[165，170），第三组[170，175），第四组[175，180），第五组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示，
（1）求第三、四、五组的频率；
（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．
正确答案
解：（1）由题设可知，第三组的频率为0.06
第四组的频率为0.04
第五组的频率为0.02
（2）第三组的人数为0.3
第四组的人数为0.2
第五组的人数为0.1
因为第三、四、五组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：
第三组
第四组
第五组
所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人．
（3）设第三组的3位同学为A1，A2，A3，
第四组的2位同学为B1，B2，
第五组的1位同学为C1则从6位同学中抽2位同学有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2）（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共15种可能
其中第四组的2位同学B1，B2中至少1位同学入选有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共9种可能
所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为
某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1 032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为（ ）h。
正确答案
1013
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
附：
正确答案
解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，
因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为
（2）
由于9.967>6.635，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关；
（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好。
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
附：
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
正确答案
解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，
因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为
（2）
由于9.967>6.635，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关；
（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好。
某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？
（3）已知y≥96，z≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．
正确答案
解：（1）∵在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．
有
（2）第三批次的人数为y+z=900﹣（196+204+144+156）=200，
设应在第三批次中抽取m名，则
∴应在第三批次中抽取12名．
（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A，第三批次女教职工和男教职工数记为数对（y，z），
由（2）知y+z=200，（y，z∈N，y≥96，z≥96），
则基本事件总数有：（96，104），（97，103），（98，102），（99，101），（100，100），（101，99），（102，98），（103，97），（104，96），共9个，
而事件A包含的基本事件有：（101，99），（102，98），（103，97），（104，96）共4个，
∴
某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率。
正确答案
解：（1）第二组的频率为
所以高为
频率直方图如下：
第一组的人数为
所以
由题可知，第二组的频率为0.3，
所以第二组的人数为
所以
第四组的频率为
所以第四组的人数为
所以
（2）因为
所以采用分层抽样法抽取6人，
设
则选取2人作为领队的有
共8种
以选取的2名领队中恰有1人年龄在
有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响。据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200 辆汽车所用时间的频数分布如下表：
（Ⅰ）为进行某项研究，从所用时间为12天的60辆汽车中随机抽取6辆，
（ⅰ）若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；
（ⅱ）若从（Ⅰ）的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路1的概率；
（Ⅱ）假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发。为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径。
正确答案
解：（Ⅰ）（ⅰ）公路1抽取
公路2抽取
（ⅱ）通过公路1的两辆汽车分别用
通过公路2的4辆汽车分别用
任意抽取2辆汽车共有15种可能的结果：
其中至少有1辆经过公路1的有9种，
所以至少有1辆经过1号公路的概率
（Ⅱ）频率分布表，如下：
设
∴汽车A应选择公路1；
∴汽车B应选择公路2。
扫码查看完整答案与解析