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题型:简答题
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简答题

(本题满分15分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面与平面所成角的正切值依次是依次是的中点.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

(1)见解析;(2)直线与平面所成角的正弦值为

本试题主要是考查了面面垂直和线面角的求解的综合运用。

(1)第一问中要证明面面垂直关键是证明线面垂直,然后利用判定定理得到。

(2)第二问先根据线面角的定义,作出线面角,然后利用直角三角形的边角的关系求解的得到。

解:(1)∵与平面所成角的正切值依次

,

平面,底面是矩形

平面  ∴

的中点   ∴

        …………………………7分

(2)解法一:∵平面,∴,又,

平面,取中点中点,联结

是平行四边形,

即为直线与平面所成的角. 在中,,

∴直线与平面所成角的正弦值为

解法二:分别以轴、轴、轴建立空间直角坐标系,依题意,,则各点坐标分别是

,∴,

又∵平面

∴平面的法向量为

设直线与平面所成的角为,则

,         

∴直线与平面所成角的正弦值为.   …………………………15分

解:(1)∵与平面所成角的正切值依次

,

平面,底面是矩形

平面  ∴

的中点   ∴

        …………………………7分

(2)解法一:∵平面,∴,又,

平面,取中点中点,联结

是平行四边形,

即为直线与平面所成的角. 在中,,

∴直线与平面所成角的正弦值为

解法二:分别以轴、轴、轴建立空间直角坐标系,依题意,,则各点坐标分别是

,∴,

又∵平面

∴平面的法向量为

设直线与平面所成的角为,则

,         

∴直线与平面所成角的正弦值为.   …………………………15分

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题型:简答题
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简答题

(本小题10分)如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.

 

(1) 求证:面PCC1⊥面MNQ;

(2) 求证:PC1∥面MNQ。

正确答案

见解析。

本试题主要是考查了面面垂直的运用以及线面平行的证明综合运用。

(1)因为AC=BC, P是AB的中点      ∴AB⊥PC  ∵AA1⊥面ABC,CC1∥AA1

CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内,由此推理得到MN⊥面PCC1即可。

(2)连PB1与MN相交于K,连KQ,∵MN∥PB,N为BB1的中点,∴K为PB1的中点.

又∵Q是C1B1的中点    ∴PC1∥KQ,则由线面平行 的判定定理得到结论。

证明:(1)∵AC=BC, P是AB的中点      ∴AB⊥PC  ∵AA1⊥面ABC,CC1∥AA1

∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内       ∴CC1⊥AB, ∵CC1∩PC=C   ∴AB⊥面PCC1;      

又∵M、N分别是AA1、BB1的中点,四边形AA1B1B是平行四边形,MN∥AB,∴MN⊥面PCC1   

∵MN在平面MNQ内,∴面PCC1⊥面MNQ; 

(2)连PB1与MN相交于K,连KQ,∵MN∥PB,N为BB1的中点,∴K为PB1的中点.

又∵Q是C1B1的中点    ∴PC1∥KQ 而KQ平面MNQ,PC1平面MNQ  ∴PC1∥面MNQ.

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题型:简答题
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简答题

(本小题8分)已知三棱锥A—BCD及其三视图如图所示.

(1)求三棱锥A—BCD的体积与点D到平面ABC的距离;

(2)求二面角 B-AC-D的正弦值.

正确答案

(1) ;(2)二面角 B-AC-D的正弦值是

考查线面平行、线线垂直的判定定理以及体积的求解.涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强,属于中档题

(1)利用三视图可知△ABC为直角三角形,∠DBC为直角,AD⊥面DBC,DB=BC=1,AD=2,则DE的长为点D到面ABC的距离,以及三棱锥的体积可得。

(2)作DF⊥AC于点F,连结EF,

∵DE⊥面ABC   ∴DE⊥AC    ∴AC⊥面DEF   ∴AC⊥EF

∴∠DFE是二面角 B-AC-D的平面角从而解三角形可知。

(1)

由三视图可得△ABC为直角三角形,∠DBC为直角,AD⊥面DBC,DB=BC=1,AD=2…………….2分

作DE⊥AB于点E

∵AD⊥面DBC,∴AD⊥BC

∵∠DBC为直角  ∴BC⊥面ADB

∴BC⊥DE

∴DE⊥面ABC………3分

∴DE的长为点D到面ABC的距离

∵DB=1,AD=2      ∴DE=   ∴点D到平面ABC的距离为………4分

,∴………5分

(2) 作DF⊥AC于点F,连结EF,

∵DE⊥面ABC   ∴DE⊥AC    ∴AC⊥面DEF   ∴AC⊥EF

∴∠DFE是二面角 B-AC-D的平面角………7分

∵DB="BC=1" ∴DC=  ∴DF=

∴sin∠DFE=

∴二面角 B-AC-D的正弦值是………8分

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分)

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知,M为A1B与AB的交点,N为棱B1C1的中点

(1)  求证:MN∥平面AACC

(2)  若AC=AA1,求证:MN⊥平面A1BC

正确答案

见解析。

本试题主要是考查了线面平行的证明与线面垂直的证明的综合运用。

(1)线面平行的证明关键是证明线线平行,结合判定定理得到结论。

(2)对于线面垂直的判定,我们可以利用线线垂直,如果一个平面内的一条直线垂直于某个平面内的任意两条相交直线,则线面垂直的定理得到。

⑴连接,因为的交点,所以的中点,又为棱的中点.所以,………………………4分

又因为平面平面

所以∥平面. …………………………6分

⑵ 因为,所以四边形是正方形,

所以,又因为是直三棱柱,

所以平面

因为平面,所以

又因为,所以

因为,所以平面

所以,又平面,………………………………………………8分

因为,所以, ………………………………10分

,所以平面.……………………………………………14分

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题型:简答题
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简答题

第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.

如图:在正方体中,的中点,是线段上一点,且.

(1)  求证:

(2)  若平面平面,求的值.[

正确答案

(1)见解析;(2).

本试题主要考查了立体几何中的线面垂直和面面垂直的运用。

解:(1)不妨设正方体的棱长为1,如图建立空间直角坐标系,

-------------------2分

于是:-------------------4分

因为,所以------------5分

故:-------------------6分

(2)由(1)可知的法向量取 -----------------8分

,则-------------------10分

又设平面CDE的法向量为

 --------12分

因为,所以-------------------14分

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题型:简答题
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简答题

如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,侧面PAD⊥底面ABCD,若点E,F分别是PC,BD的中点。

(1)求证:EF∥平面PAD;

(2)求证:平面PAD⊥平面PCD

正确答案

(1)详见解析,(2)详见解析.

试题分析:(1)证线面平行找线线平行,本题有G为AD中点,F为BD中点条件,可利用平行四边形性质.即取PD中点H,AD中点G,易得EFGH为平行四边形,从而有EF∥GH.写定理条件时需完整,因为若缺少EF面PAD,,则EF可能在面PAD内,若缺少GH面PAD,则EF与面PAD位置关系不定.(2)证面面垂直关键找线面垂直.可由面面垂直性质定理探讨,因为侧面PAD⊥底面ABCD,CD垂直AD,而AD为两平面的交线,所以应有CD垂直于平面PAD,这就是本题证明的目标.

试题解析:(1)设PD中点为H,AD中点为G,连结FG,GH,HE

G为AD中点,F为BD中点,GF

同理EH

ABCD为矩形,ABCD,GFEH,EFGH为平行四边形

EF∥GH,又∥面PAD.

(2)面PAD⊥面ABCD,面PAD面ABCD=AD,又ABCD为矩形,

CD⊥AD,CD⊥面PAD

CD面PCD,面PAD⊥面PCD.

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题型:填空题
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填空题

设l是一条直线,α,β,γ是不同的平面,则在下列命题中,假命题是________.

①如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于β

②如果α不垂直于β,那么α内一定不存在直线垂直于β

③如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l⊥γ

④如果α⊥β,l与α,β都相交,那么l与α,β所成的角互余

正确答案

如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于β,

即命题①正确;如果α不垂直于β,

那么α内一定不存在直线垂直于β,

即命题②正确;如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,

那么l⊥γ,即命题③正确;

如果α⊥β,l与α,β都相交,

那么l与α,β所成的角不一定互余,

即命题④不正确.

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题型:简答题
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简答题

如图,在四棱锥中,,且,E是PC的中点.

(1)证明:;  

(2)证明:

正确答案

(1)见解析;(Ⅱ)证明:见解析。

试题分析:(1)证明线面垂直根据判定定理证明即可.

(2)证明线面垂直利用判定定理证明,再由,可得AC=PA.是PC的中点,可证得,问题得证.

(1)平面

平面.……5分

(Ⅱ)证明:由,可得

的中点,

由(1)知,,且,所以平面

平面

底面在底面内的射影是

,综上得平面.……12分

点评:掌握线线,线面,面面平行与垂直的判定定理及性质定理是利用传统方法求解此类问题的关键,同时还要强化画图识图能力的提高,培养自己的空间想象能力,才能真正解决此类问题.

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.

(1)求证:PC⊥BC;

(2)求点A到平面PBC的距离.

 

正确答案

(1)证明:见解析;(2)点A到平面PBC的距离等于

本题考查线面平行,线面垂直,线线垂直,考查点到面的距离,解题的关键是掌握线面平行,线面垂直的判定方法,利用等体积转化求点面距离

(1)利用线面垂直证明线线垂直,即证BC⊥平面PCD;

(2)利用等体积转化求点A到平面PBC的距离.

(1)证明:∵ PD⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,∴ PD⊥BC.

由∠BCD=90°,得CD⊥BC.又PD∩DC=D,PD,DC 平面PCD,

∴ BC⊥平面PCD.∵ PC 平面PCD,

故PC⊥BC.-------------------4分

(2)解:(方法一)分别取AB,PC的中点E,F,连DE,DF, 则易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D,E到平面PBC的距离相等.

又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍,由(1)知,BC⊥平面PCD,

∴平面PBC⊥平面PCD.

∵ PD=DC,PF=FC,∴ DF⊥PC.

平面PBC∩平面PCD=PC,∴ DF⊥平面PBC于F.

易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于.--12分

(方法二):连接AC,设点A到平面PBC的距离为h.

∵ AB∥DC,∠BCD=90°,∴ ∠ABC=90°.

由AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1.

由PD⊥平面ABCD,及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积

V=SABC·PD=.∵ PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,∴ PD⊥DC.

∴ PD=DC=1,∴ PC=

由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积S△PBC

∵ VA - PBC=VP - ABC,∴ S△PBC·h=V=

得h=

故点A到平面PBC的距离等于.----------12分

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题型:简答题
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简答题

如图,在斜三棱柱中,点分别是的中点,平面.已知

(Ⅰ)证明:平面

(Ⅱ)求异面直线所成的角;

(Ⅲ)求与平面所成角的正弦值.

正确答案

(1)见解析;(2);(3).

本试题主要考查了立体几何中的线面平行和异面直线所称的角,以及线面角的求解的综合运用,考查了空间想象能力‘

解法一:(Ⅰ)证明:∵点分别是的中点,

 ,又∵平面平面

平面.···························· 4分

(Ⅱ)∵平面,∴,又∵,且

平面,∴.··················· 6分

又∵, ∴四边形为菱形,

,且平面,

,即异面直线所成的角为.············· 8分

(Ⅲ) 设点到平面的距离为,∵

.·················· 10分

又∵在△中,,∴

,∴与平面所成角的正弦值.·········· 12分

解法二:如图建系

,   .……………2分

(Ⅰ)∵,∴,,即

又∵平面平面,∴平面.······· 6分

(Ⅱ)∵,∴,即∴

∴异面直线所成的角为.···················· 8分

(Ⅲ)设与平面所成角为,∵

设平面的一个法向量是

不妨令,可得,····················· 10分

,∴与平面所成角的正弦值. 12分

百度题库 > 高考 > 数学 > 立体几何中的向量方法

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