热门试卷

解：（Ⅰ）过点C作CF⊥AD于F，连接PF，

∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，

∴CF⊥侧面PAD，

于是∠CPF是直线PC与平面PAD所成的角．

由条件得，CF=1，

在三角形PDF中，∵PD=DF=1，∠PDF=120°，

∴PF=，

在直角△PFC中，tan∠CPF==，

∴∠CPF=30°，

即直线PC与平面PAD所成的角为30°．

（Ⅱ）假设存在点M使直线BD⊥平面MAE．

要使BD⊥平面MAE，∵ABED为正方形，∴AE⊥BD，∴只需BD⊥OM，

在△PBD中，PD=1，PB=BD=，

cos∠PBD==，

∴BM===，PM=PB-BM=，

故存在点M使直线BD⊥平面MAE，且．

（I）证明：

连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．

∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，且AA1=AB，

∴四边形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A1C．

∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D．

（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG．

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，∴DF⊥平面A1ABB1，

∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，∵FG⊥AB1，∴DG⊥AB1

∴∠FGD是二面角B-AB1-D的平面角

设A1A=AB=1，在正△ABC中，DF=．

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B-AB1-D的大小为．

（Ⅰ）证明：∵AB=2AD，E为AB的中点，

∴AE=AD，

∴∠BAD=60°，

∴△ADE为正三角形，

∴∠AED=60°，

∵BE=BC，∠CBE=120°，

∴∠CEB=30°，

∴CE⊥DE，

∵平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE=DE，

∴CE⊥平面PDE，

∴平面PCE⊥平面PDE；

（Ⅱ）解：取PE中点G，连接FG，则

∵F为PC的中点，

∴FG∥CE，

∴FG⊥平面PDE，

连接MG，则∠FMG为直线MF与平面PDE所成的角．

设AD=2，则GM=PD=1，

在△BCE中，BE=BC=2，∠CBE=120°，则

CE2=4+4-2•2•2cos120°=12，∴CE=2，

∴FG=．

在直角△FGM中，tan∠FMG==，

∴∠FMG=60°，

∴直线MF与平面PDE所成的角为60°．

解：（I）证明：连接DC1，因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，且CC1=C1E，

所以DD1∥C1E且DD1=C1E，DD1EC1是平行四边形，DC1∥D1E．

又因为AD∥B1C1且AD=B1C1，ADC1B1是平行四边形，DC1∥AB1，

所以D1E∥AB1．

因为AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，

所以D1E∥平面ACB1．

（II）证明：连接AD1、DA1，则平面DCB1即平面A1B1CD，由①D1E∥AB1，知平面D1B1E即平面AD1EB1．

因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，CD⊥平面ADD1A1，

所以CD⊥AD1．矩形ADD1A1中，AD=DD1，

所以A1D⊥AD1，又A1D∩CD=D，

所以AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，

所以平面AD1EB1⊥平面A1B1CD．

（Ⅲ）以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则A （1，0，0）C （0，2，0）B1 （1，2，1），=（-1，2，0）=（0，2，1）

设面ACB1的一个法向量是=（x1，y1，z1），则

∴取z=-2，则=（2，1，-2），

D1（0，0，1）E（0，2，2）=（0，2，1），=（-1，0，1）

设面D1B1E的一个法向量是=（x2，y2，z2）则

∴取z=2，则=（2，-1，2）

设平面ACB1与平面D1B1E所成（锐）二面角的平面角是θ，则cosθ=