热门试卷

解：（Ⅰ）设AC与DE交点为G，延长DE交CB的延长线于点F，

则△DAE≌△FBE，∴BF=AD=1，∴CF=4，∴，

又∵，∴∠F=∠ACD，

又∵∠ACD+∠ACF=90°，∴∠F+∠ACF=90°，

∴∠CGF=90°，∴AC⊥DE

又∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥DE，∴DE⊥平面PAC，

∵DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC

（Ⅱ）连接PG，过点C作CH⊥PG于H点，取PD中点I，连接CI，易知CI⊥PD

又由（Ⅰ）知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交线，

根据面面垂直的性质，得CH⊥平面PDE，

由三垂线定理知HI⊥PD

从而∠CIH为二面角C-PD-E的平面角

在等腰Rt△PCD中，；

在Rt△DCA中，=，

在Rt△PCG中，

从而，则

即二面角C-PD-E的大小为

（Ⅲ）由于，所以可知点B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离的，即．在Rt△PCG中，，

从而点B到平面PDE的距离等于．

（I）证明：连接AC1，∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，又∵AB⊥AC．

∴AB⊥平面A1ACC1．又∵CA1⊂平面A1ACC1，∴AB⊥CA1．（2分）

∵AC=AA1=1，∴四边形A1ACC1为正方形，∴AC1⊥CA1．

∵AC1∩AB=A，∴CA1⊥平面AC1B．（4分）

又C1P⊂平面AC1B，∴CA1⊥C1P． （6分）

（II）解：∵AC⊥AB，AA1⊥AC，且C1A1⊥平面ABB1A，BB1⊥AB，

由，知=，

解得PA=1，P是AB的中点．

（8分）

连接A1P，则PB1⊥A1P，∵C1A1⊥平面A1B1BA，∴PB1⊥C1A1，∴PB1⊥C1P，

∴∠C1PA1是二面角的平面角，（10分）

在直角三角形C1PA1中，，

∴，即二面角的余弦值是

解：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，

∵D为AC中点，∴PD∥B1C．

又∵PD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD

∴B1C∥平面A1BD．

（2）∵正三棱住ABC-A1B1C1，

∴AA1⊥底面ABC．

又∵BD⊥AC

∴A1D⊥BD

∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角．

∵AA1=，AD=AC=1

∴tan∠A1DA=

∴∠A1DA=，即二面角A1-BD-A的大小是．

（3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足．

∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC

∴BD⊥平面A1ACC1，

∵AM⊂平面A1ACC1，

∴BD⊥AM

∵A1D∩BD=D

∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角．

∵AA1=，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=，

∴AM=1×sin60°=，AP=AB1=．

∴sin∠APM=

∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为．

解：（Ⅰ）如图，连接A1B，AB1，∵α⊥β，α∩β=l，AA1⊥l，BB1⊥l，

∴AA1⊥β，BB1⊥α．则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角．

Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，

∴sin∠BAB1==．

∴∠BAB1=45°．

Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，sin∠ABA1==，

∴∠ABA1=30°．

故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．

（Ⅱ）∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α．

在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，

∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．

在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，

∴AB1=B1B=．

∴Rt△AA1B中，A1B===．

由AA1•A1B=A1F•AB得A1F===，

∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==，

∴二面角A1-AB-B1的大小为arcsin．

（1）证明：取AC的中点O，连接OF，OB，则有A1A∥FO，故FO⊥平面ABC，

在正三角形ABC中，O是AC的中点，故OB⊥AC，OA=OC=1，OB=，

如图，以O为原点，分别以OA，OB，OF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），E（0，，），F（0，0，），

∴=（0，，-），=（-1，，），=（-2，0，0），=（-1，0，），

∵=（0，，-）•（-1，，）=0，

∴，即FB⊥AE，

又∵=（0，，-）•（-2，0，0），

∴，即FB⊥AC，

而AE∩AC=A，∴FB⊥平面ABC；   …（6分）

（2）解：设平面AEF的法向量为=（a，b，c），

则，令c=，则a=6，b=，

即=（6，，），由（1）知平面AEC的一个法向量为，

设二面角F-AE-C的平面角为θ，易知，

∴cosθ=||=．                                           …（12分）

证明：（1）∵BD=2AD

∴BD=2AD

∵二面角A′-CD-B为60°，∠BDA为二面角A′-CD-B的平面角

∴∠BDA=60°

∴△BAA′D为直角三角形

∴A′D⊥A′B

又∵CD⊥A′B，CD∩A′D=D

∴BA′⊥面A′CD

（2）过A′作BD的平行线A′E然后构造平行四边形BA′DE

∴根据异面直线所成的角的定义可得∠CA′E异面直线A′C与BD所成角

设AD=1

∴BD=2，，CD=，A′D=1，CE=

∴由余弦定理得：cos∠CA′E==

即异面直线A′C与BD所成角的余弦为